6.2.2 向量的减法运算（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.2　向量的减法运算 （见学生用书P7） [学习目标]1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义.2.能熟练地进行向量加减法的混合运算（重点）.3.发展数学抽象和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　相反向量 1.（1）定义：与向量a　长度相等，方向相反　的向量，叫做a的相反向量，记作　－a　. （2）规定：零向量的相反向量仍是　零向量　. 2.（1）－（－a）＝　a　. （2）任意向量与其相反向量的和是零向量，即a＋（－a）＝　（－a）＋a　＝　0　. （3）如果a，b互为相反向量，那么a＝　－b　，b＝　－a　，a＋b＝　0　. 思考：相反向量的两个要素是什么？ 提示相反向量的两个要素是“模长”和“方向”，不仅要方向相反，还必须长度相等. 要点二　向量的减法 1.定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的　相反向量　，即a－b＝a＋　（－b）　. 2.几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则　　＝a－b，如图所示，即a－b可以表示为从　向量b的终点　指向　向量a的终点　的向量. 3.向量减法的有关不等关系 （1）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b　反向　或至少有一个为0时，等号成立. （2）｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，当且仅当a，b　同向　或至少有一个为0时，等号成立. 思考：移项法则对向量等式适用吗？ 提示含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式，所以移项法则对向量等式也是适用的. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）两个向量的差仍是一个向量. （　　） （2）向量的减法实质上是向量的加法的逆运算. （　　） （3）向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量. （　　） （4）若向量a与b的方向相反，则a与b是相反向量. （　　） 解析（1）正确，两个向量的差仍是一个向量. （2）正确，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. （3）正确，由三角形法则可得说法正确. （4）错误，相反向量是方向相反、长度相等的向量，而a与b的长度不确定. 答案（1）√　（2）√　（3）√　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　　向量减法的运算法则 　　规律总结　　　　　　　　　　 求两个向量的差向量的两种思路 （1）可以转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可. （2）也可以直接用向量减法的三角形法则来进行运算，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，且指向被减向量的终点的向量. 【例题1】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 题图 解析如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c即为所求. 答图 【变式1】在本例的条件下作出向量a－b＋c和 a－b－c. 解析如图，图（1）为向量a－b＋c，图（2）为向量 a－b－c. 探究二　向量加、减法的混合运算 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 （1）向量加减法运算的基本方法 ①利用相反向量统一成加法（相当于向量求和）； ②运用减法公式－＝（正用或逆用）； ③运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题. （2）向量加减法的运算结果仍然是向量. 【例题2】化简：（－）－（－）. 解析方法一　（－）－（－）＝－－＋＝＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝0. 方法二　（－）－（－）＝－－＋＝（－）＋（－）＝＋＝0. 【变式2】化简：（1）－＋； （2）＋＋－－. 解析（1）－＋＝＋＝0. （2）＋＋－－＝＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋＝＋＋＝＋＋＝0＋＝. 探究三　向量加、减法的应用 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 求解与平面几何知识相关的向量问题时，要充分利用平面几何中的结论，要能很好地将题目中的向量条件与几何条件统一起来，通过向量之间的运算，研究几何元素之间的关系，再根据结果“翻译”成几何元素. 【例题3】已知点O是△ABC内的一点，证明：当且仅当O为△ABC的重心时，＋＋＝0. 证明①当O为△ABC的重心时，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则由向量加法的平行四边形法则得＋＝，又由平面几何知识知OD＝OC，且C，O，D三点共线， 所以向量与向量互为相反向量， 所以＋＋＝＋＝0. ②当＋＋＝0时，有＋＝－， 而以OA，OB为邻边的平行四边形OADB的对角线必过AB的中点O1，所以O，C，O1三点共线，所以直线OC过AB的中点，同理可证OA过BC的中点，OB过AC的中点， 所以点O为△ABC的重心. 综合①②可知，当且