专题1-1平行线三种解题模型（考题猜想）-2023-2024学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版）

专题1-1平行线三种解题模型（考题猜想，考点透视+典例剖析+考点练兵） 题型一：猪蹄模型 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E． 小结 证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。 猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型） 结论：∠B+∠D=∠E 步骤总结 步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线 步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角 步骤三：推导出角的数量关系 【例1】．（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则　25　度． 题型二：铅笔模型 一、“铅笔”模型 从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图： 那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 二、模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：如图，过点E作FG//AB ∵ AB//FG，AB//CD ∴ FG//CD ∵ AB//FG ∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ FG//CD ∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360° ∴ ∠B+∠D+∠BED=360° 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。 三、猪蹄模型和铅笔头模型关系 1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型 ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴ 180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED ∴ ∠FBE+∠GDE+∠BED=360° 2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型 ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得， ∠ABE+∠BED+∠CDE=360° ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE ∴ 180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360° ∴ ∠FBE+∠GDE=∠BED 【例2】（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 题型三：锯齿模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠B+∠E=∠C 遇拐点做平行线（方法不唯一） AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠N a∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和 【例3】．（2022春•铁东区校级月考）感知与填空：如图①，直线．来证：． （1）阅读下面的解答过程，请填上适当的理由． 证明：过点作直线 　　 （已知）， 　　 　　 　　 （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，， 求的度数． （3）方法与实践：如图③，直线．若，， 则　　度． 一、单选题 1．如图，，=（    ）    A． B． C． D． 2．如图，直线，，，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝