精品解析：广东省百校联考2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

百校联考高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 某班12名同学某次测试数学成绩（单位：分）分别为62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是（ ） A. 74 B. 78 C. 83 D. 91 4. 跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图．当水面宽度为24米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面为轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上恰有两个零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，则下列结论正确是（ ） A. 无论为何值，圆都与轴相切 B. 存在整数，使得圆与直线相切 C. 当时，圆上恰有11个整点（横、纵坐标都是整数的点） D. 若圆上恰有两个点到直线的距离为，则 10. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，四点共面，则 B. 存在点，使得平面 C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值 D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 11. 已知函数的定义域为，且，，若，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图像关于直线对称 C. 是偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列前项和是，且，则______． 13. 某班元旦晚会准备了8个节目，其中歌曲节目有3个，舞蹈节目有2个，小品、相声、廆术节目各1个，要求小品、相声、魔术这3个节目不安排在第一个表演，这3个节目中最多有2个节目连续表演，且魔术在小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种______．（用数字作答） 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点．若，且，则双曲线的离心率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，，是边的中点，求的长． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，分别为棱，的中点，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 某校为庆祝元旦，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，游戏规则如下：该游戏共两关，第一关中四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字，才能进入第二关；第二关中四字成语给出其中两个字，剩余两个字全部填对得10分，只填一个且填对得5分，只要填错一个或两个都不填得0分． （1）已知小李知道该成语概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是，在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率． （2）在过第二关时，小李每个字填与不填是等可能的，且每个字填对与填不对也是等可能的．记表示小李在第二关中得到的分数，求的分布列及数学期望． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别是，，点在椭圆上，是椭圆上异于点，的动点，且直线，的斜率之积为． （1）求椭圆的标准方程． （2）过点的直线与椭圆交于，（异于，）两点，直线与交于点，试问点是否恒在一条直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 19. 已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）当时，求的最小值； （2）若对定义域内的一切实数，都有，求整数的最小值． （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 百校联考高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚数单位i的性质以及复数的乘法运算，即可求得答案