1.2.1 等差数列的概念及其通项公式（教学设计）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

2.1等差数列的概念及其通项公式 教学设计 1、 课时教学内容 等差数列的概念,等差数列的通项公式及应用,等差数列的通项公式的推导. 2、 课时教学目标 1. 理解等差数列、等差中项的概念. 2. 掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3. 掌握等差数列的判断与证明方法． 3、 教学重点、难点 1. 重点：掌握等差数列的通项公式、理解等差数列及等差中项的概念． 2. 难点：等差数列的通项公式推导及应用、掌握等差数列的判定方法. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 实例分析 考察下列3个数列的共同特征: (1)一个剧场设置了20排座位,从第1排起各排的座位数组成数列: 38,40,42,44,46, ,76. ① 这个剧场座位安排有何规律? （2）全国统一鞋号中,鞋的各种尺码(表示以为单位的鞋底的长度)由大至小可排列为 250,245,240,235,230,225,220,215,210, ② 这种尺码的排列有何规律? (3)蓝白两种颜色的正六边形地面砖,按图1-10的规律拼成若干个图案,前4个图案中白色地面砖的块数依次为多少? 【设计意图】由生活情境的多个数列引出下面的探究问题. 环节二 观察分析，感知概念 研究这些数列的特征及变化规律,可以发现: 对于数列①,从第2项起,每一项与它的前一项的差都是2; 对于数列②,从第2项起,每一项与它的前一项的差都是-5; 对于问题(3),前4个图案中白色地面砖的块数依次为 ③ 因此,对于数列③,从第2项起,每一项与它的前一项的差都是4. 环节三 抽象概括，形成概念 抽象概括 对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母表示. 由此定义可知,对等差数列,有 因此,数列(1)的公差;数列(2)的公差;数列(3)的公差. 例1判断下面数列是否为等差数列. (1); (2). 解(1)由,得,于是 由的任意性知,这个数列是等差数列. (2) 因为,所以这个数列不是等差数列. 如果等差数列的首项是,公差是(如图1-11), 那么根据等差数列的定义得到 把以上式子相加得， 由此得到 当n=1时,. 所以这个公式对于时也成立. 这就是说: 若首项是,公差是,则等差数列的通项公式为 例题2（1）求数列9,5,1,...的前10项， （2）已知等差数列，,求和. 解(1)由,得 ,得 且 所以等差数列的首项,公差. 例3：已知在等差数列中,.试求出此数列的通项公式. 解：设数列的通项公式为, 由已知,得 这是一个以和为未知数的二元一次方程组.解这个方程组,得 故数列的通项公式为 练习 1.全国统一鞋号中,成年男鞋共有14种尺码,其中最小的尺码是,相邻的两个尺码都相差.把全部尺码从小到大列出. 2.求下列等差数列的第项: (1) (2) (3) 3.对于本节开始的问题(3),第9个图案中有白色地面砖多少块?第个图案中有白色地面砖多少块? 环节四 辨析理解，深化概念 下面从函数角度研究等差数列. 对于,可将记作,它是定义在正整数集（或其子集)上的函数.其图象是直线上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加. 当时，数列为递增数列(如图1-12(1))； 当时,数列为递减数列(如图1-12(2))； 当时,数列为常数列(如图1-12(3)). 环节五 概念应用，巩固内化 例4已知是等差数列图象上的两点. (1)求数列的通项公式; (2)画出数列的图象; (3)判断数列的增减性. 解(1)因为是等差数列图象上的两点,所以 由, 解得于是 数列的图象是直线上一些等间隔的点,如图. (3)由(1)可知,所以数列是递增数列. 如果在与之间插入一个数,使a,A,b成等差数列,那么叫作与的等差中项. 如果是与的等差中项,那么,所以 例5一个木制梯形架的上、下两底边分别为,把梯形的两腰各6等分,用平行木条连接各对应分点,构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度. 解：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为,则由梯形中位线的性质,易知相邻三项均成等差数列,即数列成等差数列.依题意,有 现要求,即中间5级的宽度. 依等差数列的定义,有 连接梯形两原中点的线段叫作梯形的中位线,梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和