检测评价(8) 二项式系数的性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（八） 二项式系数的性质 (一)基础落实 1．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　 ) A．第6项 B．第5项 C．第5、6项 D．第6、7项 解析：选A　由题意得，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项． 2．设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　 ) A．0 B．1 C．6 D．15 解析：选B　令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11. 3．(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论正确的是(　 ) A．a0＝1 B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2 C．a1－a2＋a3－a4＋a5＝35 D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1 解析：选AD　令x＝0可得a0＝1，故A正确；令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝－1，又a0＝1，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2，故B不正确；令x＝－1可得a0－a1＋a2－…－a5＝35，a1－a2＋a3－a4＋a5＝1－35，故C不正确；根据展开式通项可知a1，a3，a5为负，a2，a4为正，a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正确． 4．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　 ) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：选B　5的二项展开式通项为Tr＋1＝Cx5－r·r＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1.展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10. 5．已知(2x2＋1)·5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是(　 ) A．－10 B．－7 C．9 D．10 解析：选C　令x＝1，则有(2×12＋1)5＝3(a－1)5＝0，所以a＝1. 因为(2x2＋1)5＝2x25＋5， 又5展开式的通项为Tk＋1＝C5－k(－1)k＝Cx2k－10(－1)k， 令2k－10＝－2，则k＝4，则此时常数项为2C(－1)4＝10.令2k－10＝0，则k＝5，则此时常数项为(－1)5·C＝－1，故展开式的常数项为10－1＝9. 6．已知(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________. 解析：(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝－1，得(－2＋)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4(－2＋)4＝(2－4)4＝16. 答案：16 7．若二项式n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________． 解析：第4项的二项式系数C最大，所以n＝6， 展开式通项Tk＋1＝Cx6－kk＝(－1)kCx6－k， 令6－k＝0，则k＝4，所以常数项为(－1)4C＝15. 答案：15 8．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个递增数列，则k的最大值是________． 解析：(x＋1)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6. 答案：6 9.n的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列． (1)求a的值； (2)若a<3，展开式有多少有理项？写出所有有理项． 解：(1)因为奇数项的二项式系数之和为128，所以2n－1＝128，解得n＝8，所以二项式为8. 第一项T1＝T0＋1＝C()80＝x4，系数为1，第二项T2＝T1＋1＝C()71＝x，系数为，第三项T3＝T2＋1＝C()62＝x，系数为，由前三项系数成等差数列得2×＝1＋，解得a＝2或a＝14. (2)若a<3，由(1)得二项式为8，通项为Tr＋1＝C()8－rr＝x，其中r＝0,1，2，…，8，所以≤4， 令＝4，即r＝0，此时T1＝Cx4＝x4； 令＝3，即r＝，不符题意； 令＝2，即r＝，不符题意； 令＝1，即r＝4，此时T5＝x＝x； 令＝0，即r＝，不符题意； 令＝－1，即r＝，不符题意； 令＝－2，即r＝8, 此时T9＝x－2＝x