课时跟踪检测(24) 线面垂直的性质定理及应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

5 / 5 课时跟踪检测（二十四） 线面垂直的性质定理及应用 A级——综合提能 1．(多选)下列命题正确的是(　 ) A.⇒b⊥α B.⇒a∥b C.⇒b∥α D.⇒b⊥α 解析：选AB　由性质定理可得A、B正确．故选A、B. 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　 ) A．B1B⊥l B．B1B∥l C．B1B与l异面但不垂直 D．B1B与l相交但不垂直 解析：选B　因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B. 3.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　 ) A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH 解析：选B　因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B. 4．在正三棱柱(侧棱与底面垂直，底面为正三角形的三棱柱)ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　如图，取C1A1，CA的中点E，F，连接B1E，BF，EF，则B1E⊥平面CAA1C1，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1，连接AH，则∠DAH即为所求的线面角．又DH＝B1E＝，DA＝， 所以sin∠DAH＝＝. 5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　 ) A．α∥β且l∥α B．α∥β且l⊥β C．α与β相交，且交线与l垂直 D．α与β相交，且交线与l平行 解析：选D　若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．设α∩β＝a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，m′与n′相交，所以l⊥γ.因为m⊥α，n⊥β，所以m′⊥α，n′⊥β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因为l⊄α，l⊄β，所以l与a不重合．所以l∥a.综上知，选D. 6．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________. 解析：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC. 答案：平行 7.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________. 解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6. 答案：6 8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与面对角线BC1所在直线间的距离是________． 解析：如图所示，连接BC1，B1C交于点O，连接A1O，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，所以BC1⊥平面A1B1O，又A1O⊂平面A1B1O，所以BC1⊥A1O，所以A1O的长度即为所求．因为A1B1＝a，B1O＝a，所以A1O＝＝a. 答案：a 9.如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：＝. 解：∵PA⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面BCD，BD，EF⊂平面BCD，∴PC⊥BD，PC⊥EF. ∵PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC. ∴EF∥BD.∴＝. 10.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点． 求证：平面DMN∥平面ABC. 证明：因为M，N分别是EA，EC的中点，所以MN∥AC， 又因为AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC， 因为DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，所以BD∥EC， 又CE≠BD，所以四边形BDEC为直角梯形， 因为N为EC的中点，EC＝2BD，所以NC綉BD，所以四边形BCND为矩形， 所以DN∥BC，又因为DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DN∥平面ABC，又因为MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，所以平面DMN∥平面ABC. B级——应用创新 11.已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，