课时跟踪检测(8) 平面向量基本定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（八） 平面向量基本定理 　A级——综合提能 1.如图，向量a－b等于(　 ) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：选C　不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝.由平行四边形法则可知＝e1－3e2. 2．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(　 ) A．a＝0，b＝e1－e2 B．a＝3e1－3e2，b＝e1－e2 C．a＝e1－2e2，b＝e1＋2e2 D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2 解析：选C　对于A，零向量与任意向量均共线，所以这两个向量不可以作为基底．对于B，因为a＝3e1－3e2，b＝e1－e2，所以a＝3b.所以这两个向量不可以作为基底．对于C，设a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，所以这两个向量不共线，可以作为一组基底．对于D，因为a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2，所以a＝b.所以这两个向量不可以作为基底．故选C. 3.如图，点D，E分别为AC，BC的中点，设＝a，＝b，F是DE的中点，则＝(　 ) A.a＋b 　　 B．－a＋b C.a＋b 　　 D.－a＋b 解析：选C　＝＋＝＋＝＋＝a＋b.故选C. 4．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　 ) A．3 B．4 C．－ D．－ 解析：选B　因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0. 又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得 5．在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝60°，点E是BC的中点，＝2，则·＝(　 ) A．－6 B．－2 C．2 D．6 解析：选D　∵＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－＝－， ∴·＝·＝－2＋·＋2＝－×32＋×3×4×cos 60°＋×42＝6.故选D. 6．在△ABC中，点M，N满足 ＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________. 解析：由题中条件得＝＋＝＋＝ ＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－. 答案：　－ 7.在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若＝x＋y，则x＝________. 解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD的中点，所以＝－＝－＝－＋.所以x＝－. 答案：－ 8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝________. 解析：如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF， ∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋.则＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案：a＋b 9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底． (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∵e1与e2不共线，∴解得∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴解得 10.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.求证：B，E，F三点共线． 证明：因为在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点， 所以＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)． 所以＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)． 因为＝＝b， 所以＝－＝b－a＝(b－2a)． 所以＝.所以∥. 又与有公共点B， 所以B，E，F三点共线． B级——应用创新 11.(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　 ) A.＝－＋ 　 B.＝＋ C.＝－＋ 　 D.＝＋ 解析：选ABC　∵AB∥CD，AB＝2DC，∴＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确．∵＝3，∴＝＝－＋.∴＝＋＝＋＝＋.又F为AE的中点，∴＝＝＋，B正确．∴＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确．∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误．故选A、B、C. 12.如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋(m∈R)，若AC＝3，AB＝4，