课时跟踪检测(17) 两角和与差的正弦公式（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测（十七） 两角和与差的正弦公式 A级——综合提能 1．sin 50°sin 80°－cos 130°sin 10°＝(　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选B　原式＝sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin(50°＋10°)＝sin 60°＝.故选B. 2．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝(　 ) A. B.－ C. D．－ 解析：选A　sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝(cos B＋ )＝×＝. 3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcos C，则这个三角形一定是(　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 解析：选D　因为sin(B＋C)＝2sin Bcos C，所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C．则sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0.又0＜B＜π，0＜C＜π，所以－π＜B－C＜π.所以B－C＝0，即B＝C，所以△ABC一定是等腰三角形． 4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(　 ) A. 　　 B． C. 　　 D． 解析：选B　由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝. 5．(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转90°得到角β，则下列结论正确的是(　 ) A．tan α＝ B．cos β＝－ C．sin(α－β)＝－1 D．sin＝－ 解析：选ACD　由题意知sin α＝－，cos α＝－，β＝α＋90°，则tan α＝＝，故A正确； cos β＝cos(α＋90°)＝－sin α＝，故B错误； α－β＝－90°，则sin(α－β)＝sin(－90°)＝－1，故C正确； sin β＝cos α＝－，则sin＝(sin β－cos β)＝×＝－，故D正确．故选A、C、D. 6．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解析：∵sin α＋cos β＝1，　① cos α＋sin β＝0，　② ∴①2＋②2，得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1. ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－. ∴sin(α＋β)＝－. 答案：－ 7．(2022·北京高考)若函数f(x)＝Asin x－cos x的一个零点为，则A＝________；f＝________. 解析：依题意得f＝A×－×＝0，解得A＝1，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin，所以f＝2sin＝－. 答案：1　－ 8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________. 解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－. 所以sin＝sin βcos＋cos βsin ＝×＋× ＝＋＝. 答案： 9．已知锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,4)． (1)求sin的值； (2)若锐角β满足cos(α＋β)＝－，求sin β的值． 解：(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4)， 所以sin α＝，cos α＝. 所以sin＝sincos α＋cossin α ＝×＝. (2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 因为cos(α＋β)＝－＜0，所以α＋β∈.所以sin(α＋β)＝.所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×＋×＝. 10．求证：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin β. 证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α] ＝sin β， ∴sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin β. ∴原式得证． B级——应用创新 11．函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　 ) A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2 解析：选C　因为f(x)＝sin