课时跟踪检测(14) 解三角形应用举例（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测（十四） 解三角形应用举例 A级——综合提能 1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　 ) A. km B． km C. km D．2 km 解析：选A　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝.∴AC＝2×＝(km)． 2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　 ) A．50 m B．100 m C．50 m D．100 m 解析：选A　因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形． 所以AC＝DC＝100 m. 在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50 m. 3.如图，为测量A，B两地之间的距离，甲同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量∠A，|AC|，|BC|；②测量∠A，∠B，|BC|；③测量∠C，|AC|，|BC|；④测量∠A，∠B，∠C.要求甲同学选择的方案能唯一确定A，B两地之间的距离，这样的方案有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B　选择方案①，由正弦定理得＝，sin B＝，B角可能有两解，从而|AB|不一定能唯一确定；选择方案②，∠A，∠B确定后∠C是确定的，由正弦定理可得|AB|是唯一的；选择方案③，直接由余弦定理求解，|AB|是唯一的；选择方案④，三角形只有三个角的大小，没法求得边长，不唯一．因此可选择方案有②和③两个．故选B. 4.如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为60°，N点的仰角为30°，以及∠MAN＝45°，则M，N间的距离为(　 ) A．100 m B．120 m C．100 m D．200 m 解析：选A　由题意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100，NB＝50，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°，在Rt△ACM中，可得AM＝＝200，在Rt△ABN中，可得AN＝＝100，在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos∠MAN＝20 000，所以MN＝100 m．故选A. 5．甲船在岛A的正南方向B处，以每小时4 km的速度向正北方向航行，AB＝10 km，同时乙船自岛A出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　 ) A. min B． min C．21.5 min D．2.15 h 解析：选A　如图，设t h后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴由余弦定理得DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100＝282＋. 当t＝时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝ min. 6.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________ km. 解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝(km)． 答案： 7．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，要使一根长为2 m的竹竿的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿影子长为x. 依据正弦定理可得 ＝， 所以x＝·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长． 答案：30° 8.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236) 解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 m， 由余弦定理可得 BC＝＝100≈316.2(m)，这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.6 9.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离． 解：在△ABD中，∠ADB＝60°， ∠DAB＝75