课时跟踪检测(13) 正弦定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测（十三） 正弦定理 A级——综合提能 1．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝60°，则角A的度数为(　 ) A．30° B．45° C．45°或135° D．60° 解析：选B　由a＝，b＝得a<b，于是A<B，由正弦定理得sin A＝＝＝，∴A＝45°，故选B. 2．已知△ABC外接圆的周长为4π，∠BAC＝，则BC＝(　 ) A．4 B．2 C．4 D．2 解析：选B　因为△ABC外接圆的周长为4π，所以△ABC外接圆的半径为2，则根据正弦定理可得＝＝2BC＝4，解得BC＝2.故选B. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若a＝4，b＝4，A＝，则角B的大小为(　 ) A. B．或 C. D． 解析：选B　由＝，则sin B＝＝，而B∈(0，π)，故B＝或B＝，显然，所得角B均满足0<A＋B<π.故选B. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝8，B＝.若△ABC有两解，则b的值可以是(　 ) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选B　如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD＝csin B．因为△ABC有两解，所以AD<AC<AB，则csin B<b<c，即8sin <b<8，得4<b<8.故选B. 5.如图，在△DEF中，M在线段DF上，DE＝DM＝EM＝2，sin F＝，则边EF的长为(　 ) A．2 B． C. D． 解析：选D　在△DEM中，DE＝DM＝EM＝2，所以△DEM为等边三角形．所以∠EMD＝60°，则∠EMF＝120°.在△EFM中，由正弦定理得＝，所以EF＝＝.故选D. 6．在△ABC中，若sin C＝3sin A，b2＝2ac，则cos B＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选C　因为sin C＝3sin A，由正弦定理可得c＝3a，且b2＝2ac，由余弦定理可得cos B＝＝＝.故选C. 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝60°，a＝，则＝________. 解析：由正弦定理可得2R＝＝＝＝＝2，a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，则＝＝2. 答案：2 8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC外接圆的面积为4π，请写出一组满足上述条件的边和角：a＝________，A＝________. 解析：依题意，△ABC的外接圆半径R＝2，由正弦定理得＝2R＝4，即a＝4sin A，又0<A<π，取A＝，则a＝2. 答案：2　(答案不唯一) 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c＝2，C＝. (1)若△ABC的面积等于，求a，b； (2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积． 解：(1)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4　①，又△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4　②， 联立①②得方程组解得 (2)由正弦定理及sin B＝2sin A，得b＝2a　③， 联立①③得方程组解得 所以△ABC的面积S＝absin C＝. 10.如图，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，AC＝DC. (1)若∠DAC＝30°，求∠ADC的大小； (2)若BD＝2DC，且DC＝1，求AD的长． 解：(1)在△ADC中，由正弦定理得 ＝， 所以sin∠ADC＝＝×＝. 又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋(90°－∠DAC)＝B＋60°>60°，所以∠ADC＝120°. (2)由BD＝2DC，且DC＝1知BC＝3，AC＝， 所以直角三角形ABC中，cos C＝＝. 在△ADC中，由余弦定理得 AD2＝AC2＋DC2－2AC·DCcos C＝()2＋12－2×1×＝2，所以AD＝. B级——应用创新 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选A　∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2. 由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6. 12．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则下列结论正确的是(　 ) A．a∶b∶c＝3∶4∶5 B．△ABC为直角三角形 C．若b＝4，则△ABC外接圆半径为5 D．若P为△ABC内一点，满足＋2＋＝0，则△APB与△BPC的面积相等 解析：选ABD　由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶4∶5，A正确；由A知a∶b∶c＝3∶4∶5，故a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形，B正确；由B知，sin