课时跟踪检测(12) 余弦定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测（十二） 余弦定理 A级——综合提能 1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，可得13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝4，c＝3，则B＋C等于(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，而0<A<π，则A＝，所以B＋C＝π－A＝. 3．在△ABC中，a＝2b＝，C＝60°，则S△ABC＝(　 ) A．2 B． C. D． 解析：选D　因为a＝2b＝，所以a＝，b＝.又因为C＝60°，所以S△ABC＝absin C＝×××＝.故选D. 4．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则(　 ) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 解析：选AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°，故选A、D. 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　 ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 解析：选C　由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形． 6．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝________，△ABC的面积为________． 解析：在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，易知c＝ ＝，△ABC的面积为×2×3×＝. 答案：　 7．在△ABC中，a＝8，c＝7，cos A＝，则b＝________，∠C＝________. 解析：由余弦定理可得64＝b2＋49－2×b×7×＝b2－2b＋49，故b2－2b－15＝0，故b＝－3(舍去)或b＝5，故cos∠C＝＝，而∠C为三角形内角，故∠C＝. 答案：5　 8．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝b，cos B＝cos C，a＝，则S△ABC＝________. 解析：由cos B＝cos C及余弦定理，得＝，结合c＝b，化简得a＝b，从而有b2＋c2＝a2，即△ABC为直角三角形，将c＝b，a＝代入b2＋c2＝a2，得b＝1，c＝，所以S△ABC＝bc＝. 答案： 9．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长． 解：由得 ∴a＞b＞c.∴A＝120°. ∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°， 即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×， 即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10. 当b＝10时，a＝14，c＝6. 10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc. (1)求A的大小； (2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状． 解：(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1. ∴cos A＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝， ∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.　① 又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3. ∴解得b＝c＝. ∴△ABC为等边三角形． B级——应用创新 11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0且sin A＝，则B＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选A　由(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0，可得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.又C∈(0，π)，所以C＝.因为sin A＝，A∈(0，π)，所以A＝或A＝.当A＝时，B＝；当A＝时，A＋C＞π，不合题意．故选A. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝，a＝4，则bc的最大值为(　 ) A. B．16 C. D．32 解析：选B　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为A＝，a＝4，所以16＝b2＋c2－bc，因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立． 13．(多选)已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，