12.3角平分线的性质——角平分线的判定 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十二章　全等三角形 角平分线的判定 八年级上册 人教版数学 角平分线的判定 (1)角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． (2)几何语言： 如图，∵PB⊥AB，PC⊥AC，____________，∴AP平分∠BAC． PB＝PC 新知探究 知识点 　　　　如图，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，且ME＝MF，∠ABC＝70°，求∠EBM的度数． 解：∵ME⊥AB，MF⊥BC，ME＝MF， ∴BM平分∠ABC． ∵∠ABC＝70°， 　　　　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE＝DC．若∠A＝40°，求∠DBC的度数． 解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC． 又DE⊥AB，DE＝DC， 　　　　如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD． ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)． ∴DE＝DF. 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC． 在Rt△BED和Rt△CFD中， 　　　　如图，已知E，F分别为AB，AC上的点，且BF⊥AC，CE⊥AB，BD＝CD．求证：点D在∠BAC的平分线上． 证明：如图，连接AD． ∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF. ∴AD平分∠BAC，即点D在∠BAC的平分线上． 　　　　(教材P50)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，连接OA． 求证：OA平分∠BAC． 证明：如图，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F. ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O， ∴OD＝OE，OD＝OF. ∴OE＝OF. ∴OA平分∠BAC． 　　　　如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：如图，过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，点P，M，N为垂足，连接AF. ∵CF是∠BCE的平分线， ∴FP＝FM. 同理，FM＝FN. ∴FP＝FN. ∴AF平分∠DAE，即点F在∠DAE的平分线上． 1．【几何直观】在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q A 过关训练 2．如图，有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 解：如图所示，作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置． 3．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 4．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG. 求证：OC是∠AOB的平分线． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDF＝∠PEG＝90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)． ∴PD＝PE. ∵P是OC上一点， ∴OC是∠AOB的平分线． 5．如图，AB＝AC，BE⊥AC 于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D．给出下列结论： ①△ABE≌△ACF； ②△BDF≌△CDE； ③点D在∠BAC的平分线上． 其中，正确的是(　　) A．①　　　　B．②　　　　C．①②　　　　D．①②③ D 6．如图，已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点． (1)点E在∠ABC的平分线上吗？ 解：如图，连接BE，过点E作EH⊥AB于点H. ∵AE平分∠BAD，ED⊥AD，EH⊥AB，∴ED＝EH. ∵点E是CD的中点，∴ED＝EC． ∴EC＝EH. ∵AD∥BC，DC⊥AD，∴EC⊥BC． ∴BE平分∠ABC，即点E在∠ABC的平分线上． (2)请直接写出AD＋BC与AB的大小关系． 解：AD＋BC＝AB． 1．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P.其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA交于点M，连接OP.若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为(　　) A．62° B．56° C．52° D．46° B 基础训练 2．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分