第四章 因式分解压轴题（20题）-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

第四章 因式分解压轴题 1．若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 2．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ． 3．如果一个三位正整数可以表示为的形式，其中为正整数，则称为“幸运数”．例如：三位数，，∴是“幸运数”；又如：三位数，，∴不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为 ；若与都是“幸运数”，且，则所有满足条件的的和为 ． 4．一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则 ；同时，若、还满足，则所有可能值的和为 ． 5．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等．下列几个命题中： （1）是“回文数”； （2）所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”； （3）任意四位数的“回文数”是的倍数； （4）如果一个“回文数”是另外一个正整数的平方，则称为“平方回数”．若是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，若，且s是一个“平方回数”，则． 其中，真命题有 ．（填序号） 6．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 7．若一个四位数的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的倍，则将这个四位数称作“星耀重外数”．例如：，∵，∴是“星耀重外数”；又如，∵，∴不是“星耀重外数”． (1)判断，是否是“星耀重外数”，并说明理由； (2)一个“星耀重外数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且满足，记，当是整数时，求出所有满足条件的． 8．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记． 例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”； 此时． 又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”． (1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由； (2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M． 9．一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”． 例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠加数”为4715； 　　　M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26没有“叠加数”． (1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均为整数）有“叠加数”，且12a－M－N能被13整除，求所有满足条件的两位数M的“叠加数”． 10．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 11．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法