18.2.3 第2课时 正方形的判定2023-2024学年人教版八年级数学下册

第2课时　正方形的判定 1.知道正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系. 2.掌握正方形不同的判定方法,能根据已知条件选择正确的方法判定正方形. 3.能利用特殊平行四边形的性质与判定解决相关的几何问题. ◎重点:正方形的判定方法. ◎难点:综合运用特殊平行四边形的性质与判定. 小明在商场里看到一块很漂亮的方巾,非常想买.但当他仔细拿起来观察时,感觉方巾不太方正.商店老板则拿过来拉起一组对角,让小明看是否对齐,再拉起另一组对角让小明检查.这样检查的方巾就一定是正方形吗?菱形是否也能通过这样的检查呢? 预习导学 平行四边形与特殊平行四边形的关系 1.思考:特殊的平行四边形有哪些? 矩形、菱形、正方形. 2.操作:与小组内同学讨论四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系,试完成下面的关系图. 解:　 正方形的判定 1.思考:(1)如果一个四边形不是平行四边形,这个四边形会是正方形吗? (2)如果一个平行四边形不是矩形,有可能是正方形吗? 不是. 不可能. (3)如果一个平行四边形不是菱形,有可能是正方形吗? 学法指导　正方形是所有平行四边形中性质最多的.因此,要判定一个四边形是正方形,需要的条件也是最多的.我们可以尝试先判定一个四边形是矩形或者菱形,再去判定这个四边形是正方形. 不可能. 2.(1)讨论:一个矩形要同时满足哪个特殊平行四边形的条件才能是正方形? (2)结论:　 　相等的矩形是正方形;　 　的矩形是正方形.  菱形. 邻边 对角线垂直 3.(1)讨论:一个菱形要同时满足哪个特殊平行四边形的条件才能是正方形? (2)结论:有一个角是　 　的菱形是正方形;对角线　 　的菱形是正方形.  矩形. 直角 相等 学法指导　要判定一个四边形是正方形,根据不同的已知条件可以产生很多种不同的判定方法,比较难记忆.事实上,我们只需要抓住同时满足矩形与菱形的判定条件的四边形是正方形即可. 1.下列说法正确的是 ( ) A.有一个角是直角的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.有一组邻边相等的菱形是正方形 D.各边都相等的四边形是正方形 B 　2.如图,在▱ABCD中,AB=AD,要使四边形ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是　 　.(只写出一个即可)  ∠ABC=90°或AC=BD 3.如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=∠C=90°. ∵△AEF是等边三角形, ∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°. ∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°, ∴∠AFD=∠AEB=180°- 45°- 60°=75°, ∴△AEB≌△AFD(AAS), ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. 正方形的判定 1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. 合作探究 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形. ∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC, ∴菱形AECF是正方形. 正方形的判定与性质的综合 2.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AD是BC边上的中线,以AD,CD为边作平行四边形ADCF, 连接BF,BF分别与AD, AC相交于点E,G. (1)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF为正方形,并说明理由. (2)当四边形ADCF为正方形时,若AB=6,求EF的长. 解:(1)当△ABC满足AC=AB时,四边形ADCF为正方形. 理由:∵∠CAB=90°,AC=AB,AD是BC边上的中线, ∴AD=CD=BD,AD⊥BC. ∵四边形ADCF是平行四边形,且AD=CD, ∴平行四边形ADCF是菱形. ∵AD⊥BC,∴菱形ADCF为正方形. (2)由(1)得∠ADB=90°. ∵AD=BD,AB=6,∴AD=BD=AF=6. ∵四边形ADCF为正方形, ∴∠FAD=90°,AF∥CD. 在△FAE和△BDE中, ∴△FAE≌△BDE(AAS), ∴AE=DE=AD=×6=3, ∴EF===3. 3.如图,在正方形ABCD中,动点E在AC上,AF⊥AC,垂足为A,AF=AE. (1)求证:BF=DE. (2)当点E运动到AC的中点时 (其他条件都保持不变),四边形 AFBE是什么特殊四边形? 请判断并说明理由. 解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=AD,∠B