第03讲 平方根、立方根（5个知识点+5种题型+强化训练）-2023-2024学年七年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第03讲 平方根、立方根（5个知识点+5种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点4．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点5．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 知识复习 一．平方根（共8小题） 1．（2024•渝中区校级开学）一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数是　　 A．81 B．25 C．16 D．9 2．（2023春•涪城区期末）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为　　 A．3 B． C．1 D． 3．（2023春•西岗区期末）下列说法正确的是　　 A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 4．（2023春•沙河口区期末）9的平方根是　　 A．3 B． C． D． 5．（2023春•岳麓区校级期末）36的平方根是 　　． 6．（2023春•黄石期末）已知一个正数的平方根是和，则这个数是 　　． 7．（2023春•秀山县校级月考）已知正数有两个平方根，分别是与．①求的值；②求这个正数． 8．（2023春•扎赉特旗期末）一个正数的的平方根是与，求和的值． 二．算术平方根（共11小题） 9．（2023春•石嘴山校级期末）81的算术平方根为　　 A． B．3 C． D．9 10．（2023春•泰来县校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2023春•邯郸期中）要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为　　 A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 12．（2023春•启东市期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是　　 A． B． C．2 D．3 13．（2024•渝中区校级开学）5的算术平方根是　　． 14．（2023春•江岸区期中）若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是　　． 15．（2023春•孟村县期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 16．（2023秋•秦都区校级期中）一个数值转换器，如图所示： （1）当输入的为16时，输出的值是 　　； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； （3）若输出的是，请写出两个满足要求的值：　　． 17．（2023秋•市南区校级期中）某