18.2.1 矩形-2023-2024学年八年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 1 矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 平行四边形中，若，则四边形是矩形. 2 矩形的性质 （1）矩形的四个内角都是直角； （2）矩形的对角线相等。 在矩形中，， . 3 直角三角形斜边中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 如下图，在直角三角形中，点是斜边的中点，则. 推广：（1）结论可得, （2）若三角形中，则. 4 矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 【题型1】 矩形的性质 【典题1】 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是 　　．​ 【典题2】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°．连接OE，则下面的结论：①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC＝2AB；④S△AOE＝S△COE，其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习】 1. (★)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　) A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 2. (★)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为(　　) A．3 B．4 C． D．5 3. (★★)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为(　　) A．2﹣2 B． C．﹣1 D．2﹣ 4. (★★)如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，则AE的长为(　　) A．1cm B．cm C．cm D．2cm 5. (★★)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，分别在AD、BD上取点P、Q(端点除外)，连接PQ，E、F分别为AP、PQ的中点，连接EF，在P、Q的运动过程中，线段EF的最小值为(　　) A．1.2 B．1.5 C． D．2 6. (★★)如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH+EG的值是(　　) A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 7. (★★★)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，连接DE．则下列结论： ①OE＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△DOF≌△CBF；④MB＝3． 其中结论正确的序号是(　　) A．①②③ B．①②③④ C．①④ D．②③④ 【题型2】直角三角形斜边中线 【典题1】如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为 　　． 【巩固练习】 1. (★)如图，AD是△ABC的中线，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，则AD等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 2. (★)如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是(　　) A．20 B．12 C．16 D．13 3. (★)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，则EF的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 4. (★★)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则△BDE的周长是(　　) A．6 B．3+ C．4+2 D．6+2 5. (★★)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝(　　) A．3 B． C．5 D． 【题型3】根据条件判定矩形 【典题1】 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是(　　) A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝BC，AB∥CD D．∠BAD＝∠ADC 【巩固练习】 1. (★)如图，若要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) A．AB＝BC B．∠ABD＝∠DBC C．AO＝BO D．AC⊥BD 2. (★)如图，延长▱ABCD的边AD到E，使DE＝AD，连接BE，DB，EC．再