第7章参数估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（哈工程版）

参数估计 7.1 参数的点估计 7.3 区间估计 7.2 估计量的评选标准 目录 数理统计的基本问题是根据样本提供的信息，对总体的分布及分布的数字特征做出统计推断.它的主要内容分为两大类：一类是统计估计问题，其主要内容是本章要介绍的参数估计；另一类是假设检验. 在实际问题中，有一些总体的分布类型是已知的，但其中含有未知参数；还有一些总体的分布类型并不知道，但我们所关心的只是它的某些数字特征.这时，如何利用样本提供的信息估计这些未知参数就是参数估计.参数估计按结果形式的不同分为两类：点估计和区间估计. 7.1 参数的点估计 7.1.1 参数点估计的概念 设 是总体X的k个未知参数， 是X的一个样本， 是相应样本的观测值.所谓对参数 做点估计，就是构造适当的统计量 ，用它的观测值 作为参数 的估计值，则称统计量 是的点估计量， 是的点估计值. 点估计方法很多，本节介绍两种常用的方法：矩估计法和极大似然估计法. 7.1.2 矩估计法 矩估计法的理论依据是辛钦大数定理，即当随机变量列独立同分布且期望存在时，它们的均值依概率收敛到它们的期望.故当 时，样本的j阶原点矩 依概率收敛到总体X的j阶原点矩 ，因此可用 作为 的估计量. 我们知道，总体矩是反映总体分布的数字特征，当总体中含有未知参数时，总体矩是待估参数的函数.故矩估计法的具体做法是：设总体X具有分布函数 ，其中 均未知， 是X的一个样本. 如果总体X的i阶原点矩 存在，则根据总体的分布可求出： 令 其中 是样本的j阶原点矩. 求出上述方程组的解. 称 为参数 的矩估计量， 是 的矩估计值. 7.1.2 矩估计法 01 02 03 例7-1 设总体X的密度函数为 （1）求 的矩估计量； （2）若得样本的一组观测值为0.1，0.2，0.4，0.6，0.1，0.2，求 的矩估计值. 解 （1）令 ，其中 ， 即 ，得 的矩估计量 . （2）此时 ，代入可得 的矩估计值 . 7.1.2 矩估计法 例7-2 设总体X的期望 ,方差 ，其中 未知， 是X的样本，求 的矩估计量. 解 由于 ， ，所以令 求得矩估计量为 此例说明，无论总体服从什么分布，总体期望 的矩估计量为样本均值 ，总体方差