第6章数理统计的基本概念（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（哈工程版）

数理统计的基本概念 6.1 随 机 样 本 6.2 抽 样 分 布 目录 前5章我们讲述了概率论的基本内容，在后面的4章中将讲述数理统计的内容.我们注意到，概率论着重从理论上研究随机变量的一般规律性，总是假定随机变量的概率分布或某些数字特征为已知，而在实际问题中，这些随机变量的概率分布或数字特征往往是不知道或知之甚少的.这时如何来分析和处理这些问题呢？通常的做法就是对研究的随机现象进行观察和试验，从中收集与我们所研究问题有关的数据，并进行有效的整理分析，以此对随机现象的客观规律做出估计或推断，这也就是数理统计要解决的事情.在科学研究中，数理统计占据着十分重要的位置，是多种试验数据处理的理论基础. 数理统计的内容很丰富，本书只介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容. 本章中首先讨论总体、随机样本及统计量等基本概念，然后着重介绍几个常用的统计量及抽样分布. 6.1 随 机 样 本 6.1.1 总体 在数理统计中，通常把被研究对象的全体称为总体.总体中的每个元素称为个体.例如，为了了解某城市职工的年收入情况，应将该城市全体职工构成一个总体，每个职工是一个个体.当研究某厂生产的一批灯泡的使用寿命时，这批灯泡的全体就是总体，而每个灯泡就是个体. 但在数理统计中，我们关心的并不是总体中的每个研究对象本身，而是它某一个或某几个数量指标.如上面两个例子中，我们关心的分别是职工的年收入和灯泡的使用寿命这一数量指标.对于选定的数量指标X而言，X的分布就完全描述了总体中我们所关心的这一数量指标的分布情况.由于我们关心的只是此数量指标，因此以后就把总体与数量指标X等同起来（如把所有职工的年收入看作一总体，把每个职工的年收入看作一个体），并把数量指标X的分布和数字特征称为总体的分布和数字特征.今后将不区分总体和相应的随机变量，统称为总体X. 6.1.2 样本 在实际中，总体的分布一般是未知的.为了了解总体的分布和性质，就必须对总体进行抽样观察（从总体中抽取部分个体，逐个观察其数量指标），从而获得数据。借助抽样所得数据，采用科学的方法对总体进行合理的推断.为了使抽样更好地体现总体的性质，抽样过程应符合以下两个条件： 独立性：各次抽取的结果互不影响. 随机性：对每次抽样，每个个体都有相同机会被抽到. 凡满足以上两条性质的抽样都称为简单随机抽样.本书中提到的抽样，都是简单随机抽样. 01 02 如果对总体X在一次抽样中抽取了n个个体进行观察，就可得到一组观测值 .显然，由于抽样具有随机性，如果再抽取n个个体，则会得到另一组观测值；如果不断地重复这一过程，就会得到多组不同的观测值.由此可见，在抽样的过程中每个个体的数量指标都是一个随机变量，不妨记为（i=1，2，…，n)，从而形成了一个n维随机向量 .由抽样的两个条件，可知这n个随机变量是相互独立的且每个都与总体X的分布相同. 综上所述，我们有如下定义： 6.1.2 样本 定义6.1 设总体X是一个有确定分布的随机变量，若随机变量 相互独立且与X具有相同的分布函数，则称 为总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本.当 取定一组数值 时，称这组常数为一组样本观测值. 由样本的定义可知样本的分布完全取决于总体的分布. 设总体X的分布函数为F(x)，则样本 的联合分布函数为 . 6.1.2 样本 若总体X为离散型随机变量，其分布列为 ，则样本 的联合分布列为 . 若总体X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)，则样本 的联合密度函数为 . 6.1.2 样本 例6-1 设 是总体 的样本，求 的密度函数. 解 由样本的定义可知， 独立且都服从 .由独立正态分布的线性组合仍然是正态分布可知， ，其中