第4章随机变量的数字特征（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（哈工程版）

随机变量的数字特征 4.1 数 学 期 望 4.3 协方差与相关系数 矩与协方差矩阵 4.2 方 差 目录 在第2章和第3章中，我们研究了一维随机变量及多维随机变量的分布，全面地描述了随机变量的各种特性.但在很多实际问题中，往往不需要或者很难求出随机变量的所有统计规律，而只需要知道随机变量的某些特征就可以了.例如，要出厂一批灯泡，我们只关心它们的平均使用寿命及与平均使用寿命的偏离程度.再如，在研究某地居民的年收入时，我们只感兴趣于该地居民的年平均收入及与平均收入的偏离程度，等等.这些与随机变量有关的数值，称之为随机变量的数字特征.本章将介绍随机变量的数学期望和方差，以及两个随即变量之间的协方差和相关系数. 4.1 数 学 期 望 4.1.1 数学期望的定义 数学期望是随机变量重要的数字特征之一，简单地说，数学期望就是随机变量可能取值的“平均值”，但这种平均不是大家所熟悉的算术平均，而是一种“加权平均”. 例如，在大学中每一学年结束都要考查每个学生的总评成绩，假设一个学生在这一学年中一共学习了n门课程，且 记 ，则该生这一学年的总评成绩为 . 这就是成绩的加权平均值，其中 是成绩 的权 ，且数列 满足分布列的两条性质，即非负性和规范性.由此我们引入离散型随机变量的数学期望. 定义4.1 设离散型随机变量X的分布列为 如果级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望 ，即 . 若级数 不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在. 数学期望一般简称为期望或均值，即以概率为权的随机变量取值的加权平均值. 若X为连续型随机变量，其概率密度为 ，则X落在区间 内的概率可近似地表示为 ，它与离散型随机变量分布列中 的类似，再利用无穷限广义积分的定义，可以给出下面的定义： 4.1.1 数学期望的定义 定义4.2 设连续型随机变量X的概率密度为 ，若广义积分 绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望.即 . 若广义积分 不绝对收敛，则称随机变量X的期望不存在. 4.1.1 数学期望的定义 例4-1 某商场进行有奖销售，摇箱中有红、黄、蓝、白、黑5种颜色的球，其对应的奖金额分别为10 000元、1 000元、100元、10元、1元.假定摇箱中红、黄、蓝、白、黑5种颜色球的比例分别为0.01%，0.15%，1.34%，10%，88.5%.求每次摇奖摇出的奖金额X的数学期望. 解 由题意X的分布列为 所以 . 可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商场的预算是很重要的. 4.1.1 数学期望的定义 例4-2 设随机变量X的取值 ， ，则 . 但由于级数 不收敛，因此X的数学期望不存在. 例4-3 设随机变量X的概率密度为 求X的数学期望 . 解 下面来计算常见分布的数学期望. 4.1.1 数学期望的定义 4.1.2 常见分布的数学期望 1.（0-1）分布 设随机变量X的分布列为 . 则 . 2.二项分布 设随机变量，其分