第3章多维随机变量（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（哈工程版）

多维随机变量 3.1 二维随机变量及其分布 3.3 条 件 分 布 3.2 边 缘 分 布 3.4 随机变量的独立性 目录 在第2章中，我们研究了一维随机变量的分布，但在很多随机试验中，试验的结果需要用两个或者两个以上的随机变量共同来描述，例如，研究某学校学生的身高与体重；炮弹落点的位置，需要同时研究它的横坐标和纵坐标；等等.因此，在考虑很多实际问题时，需要同时考虑多个随机变量及其相互关系.为此，我们引入多维随机变量的概念，并重点讨论二维随机变量. 3.1 二维随机变量及其分布 设随机试验E的样本空间是 ， 是定义在 上的两个随机变量，由它们构成的向量 为定义在 上的二维随机变量或二维随机向量，简记为 . 类似地，可定义n维随机变量(n>2)，记为 . 定义3.1 设(X,Y)是二维随机变量，对任意的 ，称二元函数 为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称随机变量X和Y的联合分布函数. 类似地，可定义n维随机变量 的分布函数： ， 其中 为任意实数. 3.1.1 二维随机变量及其分布函数 3.1.1 二维随机变量及其分布函数 我们容易给出分布函数的几何解释，将二维随机变量(X,Y)看作平面上随机点的坐标，那么分布函数 在点 处的函数值就是随机点落在以 为顶点且位于该点左下方的无界矩形内的概率，如图3-1所示. 根据以上的几何解释，并利用图3-2可以给出二维随机变量(X,Y)的取值落在矩形区域 内的概率为 图3-1 图3-2 容易证明，分布函数 具有如下性质： 定理3.1 设 是二维随机变量(X,Y)的分布函数，则 有界性： ； 单调非降性： 对每一个变量都是单调非降的，即对任意y，若 则有 ；对任意x，若 ；并且 ； 右连续型： 对每一个变量都是右连续的，即 ； 规范性： 且对于任意固定的x，有 ；对任意固定y，有 01 02 03 04 3.1.1 二维随机变量及其分布函数 例3-1 设二维随机变量 的分布函数为 求其中的常数A、B、C. 解 利用分布函数的规范性得： 且对任意的x有 ； 对任意的y有 . 解得 . 与一维随机变量一样,我们下面仅讨论离散型和连续型两种随机变量. 3.1.1 二维随机变量及其分布函数 定义3.2 若二维随机变量(X,Y)只能取到有限对可能值或至多可列对可能值，则称(X，Y)为二维离散型随机变量. 设(X，Y)所有可能的取值为 ，则称 为随机变量(X，Y)的概率分布列或概率分布，也称为X与Y的联合分布列或联合概率分布. 离散型随机变量分布列中的数列 应满足以下两条基本性质： 非负性： ； 规范性： . 3.1.2 二维离散型随机变量 01 02 如果已知离散型随机变量(X，Y)的分布列为 ，则任意事件A的概率，根据可加性可得：