第2章随机变量及其分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（哈工程版）

随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布函数 2.3 连续型随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 2.4 随机变量函数的分布 目录 在第1章研究随机试验时，只是孤立的考虑每个随机事件的概率，研究方法缺乏一般性且无法用高等数学的工具加以研究.从本章开始，我们引入了随机变量及其分布的概念.随机变量概念的建立是概率论发展史上的重大突破，我们就能够用微积分的工具对其进行研究，强有力的高等数学的工具大大加强了我们研究随机现象的手段，从而使概率论的发展进入了一个新的阶段. 在第1章中，随机事件通过样本点所构成的集合来表示，并运用初等数学的方法求出一些事件的概率，但这种表示方式大大限制了计算概率的方法.我们希望将所有随机事件的集合统一成数集，这就需要将随机试验所产生的样本点与实数对应.有些试验的样本点本身就与数值有关.例如，取出的产品中的废品数；掷一颗骰子，观察其出现的点数；观察一个元件的使用寿命；等等.但也有一些试验的结果与数值无关，但我们可以将其量化.例如，抛掷一枚硬币，可以将“出现正面”记为1，“出现反面”记为零；取一件产品，当取到次品时记为1，取到正品时记为零.这样一来，对任意的随机试验，即一种对应关系，可以给出如下定义： 2.1 随机变量及其分布函数 2.1.1 随机变量 定义2.1 设随机试验的样本空间为 ，若对每一个样本点 有唯一的实数 与之对应，则称这个定义在 上的单值实函数 为随机变量，简记为X. 随机变量一般用大写的字母X、Y、Z或希腊字母 来表示. 引入随机变量以后，随机试验所产生的任意事件都可以通过随机变量的取值表达出来.例如，设X表示电话总机在单位时间内接到呼唤的次数，则样本空间 ，事件“接到至少一次呼唤”可用 来表示，事件“恰好接到3次呼唤”可用{X=3}来表示.反之，若X表示一个随机变量，则X的任意取值所形成的集合也都表示一个随机事件，如 ， ， （其中a，b为任意实数），等等. 这样，对于随机事件概率的研究就可以转化为对随机变量取值的概率的研究，这使我们有可能用微积分的方法对各种有关的问题进行深入的研究，使我们的研究更为方便. 2.1.1 随机变量 2.1.2 分布函数 对于随机变量X，一方面要明确其各种可能的取值及取值范围，另一方面要掌握其取值的概率分布.那如何来描写其取值的概率分布呢？在后面的讨论中经常需要考虑随机变量的取值落在某个区间上的概率.而常数 有 ， 且 ，由概率的差事件的运算性质可得 . 因此，对于随机变量X，对任意实数x只要知道 ，就可以求出X的取值落在任意区间[a，b)内的概率.为此，我们给出随机变量分布函数的概念. 定义2.2 设X是一个随机变量，对任意的 ，称函数 为随机变量X的分布函数. 由定义可知， 是一个定义在 上、值域为[0,1]的函数,且对任意 ，有 ， ， . 分布函数 是事件 的概率，也是x的一个普通函数，因而通过分布函数我们就可以用高等数学的方法来研究随机变量.如果将X