5.2.1基本初等函数的导数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.2.1 基本初等函数的导数 （第一课时） 1、能根据导数的定义推导常用函数的导数 2、掌握基本初等函数的导数公式 3、利用基本初等函数的导数公式解决有关问题，发展学生的数学运算素养 学习目标 一、引 入 平均变化率 瞬时变化率 x=x0处的导数 割线的斜率 切线的斜率 切线方程 数 形 导函数 数形结合 应用 以直代曲 曲线的变化趋势 逼近 导数的 几何意义 x0 x LOGO 3 回顾：导数的定义及其意义 探究新知 1.函数 y＝f (x)＝c 的导数 即 也就是说任意一个常数的导数是0. 追问：若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0的物理意义是什么？ 若y=c表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 所以路程保持不变，是关于时间的常值函数. x y O y＝c 2.函数 y＝f (x)＝x 的导数 即 若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. x y y=x O 追问：若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1的物理意义是什么？ 3.函数 y＝f (x)＝x2 的导数 即 追问1： y′= 2x的几何意义是什么？ 表示函数y＝x2的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， y′= 2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加， |y′|越来越大， y＝x2增加得越来越快. 追问2：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？ 某物体做变速直线运动， 它在时刻x的瞬时速度为2x. 即 4. 函数y=f(x)=x3的导数 y′= 3x2表示函数y=x3的图象上点(x, y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. x y y=x3 O 思考4：你能从几何或者物理角度解释导数 y′=3的意义吗？ 即 5. 函数y=f(x)= 的导数 探究 画出函数 的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1, 1)处的切线方程. x y O 即 6. 函数y=f(x)= 的导数 新知探究：基本初等函数的导数公式的推导 函数y=f(x)=x的导数：y′ ＝1 函数y=f(x)=x2的导数：y′＝2x 函数y=f(x)=x3的导数：y′＝3x2 函数y=f(x)= 的导数： 函数y=f (x)= 的导数： 问题3 以上函数都是什么函数？它们的导函数有什么规律？ 汇总以上公式，可以得到统一的公式： 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数. 探究新知 基本初等函数的导数公式： LOGO 12 探究新知 例1 求下列函数的导数: 解： (3) y＝3 x (3) y'＝(3 x)'＝3 x ln3 LOGO 13 1. 求下列函数的导数: 解： 课本P75 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 课本P75 课堂练习 解： LOGO 16 课堂练习 解： LOGO 17 典例解析 例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 解： （1）求曲线f(x)在点（1，f(1))处的切线方程； （2）求曲线f(x)过点（1，f(1))的切线方程； 答案:(1)3x-y-2=0 (2)3x-y-2=0 或3x-4y+1=0 总结提升:利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)(,)处切线方程:则 切线方程为y-=()(x-) (2)求( )的切线方程：则 应先设切点为(,f())，得切线方程为y-f()=()(x-) 再将( 例题讲解 LOGO 21 例题讲解 LOGO 22 问题:本节课主要讲了哪些内容？ 主要内容：基本初等函数的导数的推导过程及公式. 课堂小结 基本初等函数的导数公式 1.若f(x)=c（c为常数） ，则f’(x)=c 2.若f(x)=xα(α∈Q且α≠0)，则f’(x)=αxα-1 3.若f(x)=sinx