5.1.2 导数的几何意义导 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2　导数的概念及其几何意义 学习目标　 1、 通过瞬时速度、切线的斜率，抽象导数的概念，理解导数的几何意义。提升了学生的抽象概括能力。 2、根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．提升了学生的运算求解的核心素养。 一、温故知新： 1、 一个小球从5m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t(单位：s)之间的关系为 y(t)= -4.9t2 .求t=1s时小球的瞬时速度。 2、 求抛物线f(x)=x2在点（1,1）处切线的斜率。 二、自主探究 任务一：导数的概念 1、平均变化率 函数y=f(x)从x0到的平均变化率： 2、瞬时变化率 函数y=f(x)在x=x0处的导数（也称瞬时变化率）： 巩固训练： 例1、 例2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同需要对原油进行冷却和加热，如果在第rh 时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x2﹣7x+15（0≤x≤8）．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 例3：一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts是汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t)= -t2+6t+60,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义。 任务二：　导数的几何意义 思考：1、观察函数y=f(x)的图像（右图）平均变化率 2、瞬时变化率 表示什么？ 归纳：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义： 巩固训练： 变式训练：已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 2、求曲线y=-2x2+1在点（1，-1）处的切线方程。 任务三：　导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 特别提醒： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 判断题： 1．函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数．(　　) 2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　) 3．函数f(x)＝0没有导数．(　　) 4．直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．(　　) 当堂检测： 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 2、已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) 3、 已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________． 4、曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　) A．45° B．60° C．135° D．120° 5、若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________． 6、已知直线y＝4x＋a(a<0)和曲线y＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为________，实数a的值为________． 7、点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$