6.2.3 向量的数乘运算（第二课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 (第二课时) 一 二 三 学习目标 向量的数乘运算及其几何意义 数乘运算的运算律及其线性运算 平面向量共线定理(重点) 学习目标 复习回顾 1.数乘运算的定义 一般地,我们规定实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 . 2. 的长度和方向规定如下: (2) 当 >0时, 的方向与 方向相同; 特别地,当 =0或 时, . 当 <0时, 的方向与 方向相反. 新知探究 问题1 引入向量的数乘运算后,你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗? 即实数与向量的积与原向量共线 与共线 结论1 对于向量与,如果存在一个则实数,则与共线。 追问 当时,结论1成立吗? 问题2 反过来,如果与共线,是否存在实数使? 新知探究 已知向量与共线,且向量的长度是向量的长度的倍,即||= 结论2:反过来,如果与共线,存在唯一实数, 使 那么:当与同方向时,有; 当 追问 当时,结论2成立吗? 当 当 结合结论(1)(2)可以得到下面的定理 概念生成 平面向量共线基本定理: 向量( ≠ )与共线的充要条件是: 数学符号表示: 时, l 根据这一定理,设非零向量 位于直线l上,那对于直线l上的任意一个向量 ,都存在唯一的一个实数 ,使_.也就是说,位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. A B C D E 小试牛刀 A B C D E 小试牛刀 典例解析 A B C 解: 所求作如图示, 由所作图猜想A,B,C三点共线. 证明如下: 例3 如图,已知任意两个非零向量 ,试作 . 猜想A, B, C 三点之间的位置关系,并证明你的猜想. 方法归纳 共线基本定理的应用: (1)有关向量共线问题: (2)证明三点共线的问题: 有公共点B A C B A、B、C三点共线 (3)证明两直线平行的问题: 典例解析 解: 例4 巩固练习 课本P16 巩固练习 课本P16 4. 如图,在平行四边形 中,点 是 的中点,点 在 线段 上,且有 ,求证: , , 三点共线. 巩固练习 证明 设 , , 则 , , , 共线, 又 与 有公共点 , , , 三点共线. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容? 共线向量定理: 共线基本定理的应用: (1)有关向量共线问题: (2)证明三点共线的问题: (3)证明两直线平行的问题: $$