7.5 ：多边形内角和与外角和（第二课时）讲义 2023--2024学年苏科版七年级数学下册

多边形内角和与外角和（提高）知识讲解 【典型例题】 类型一、多边形的概念 1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】 解：这个问题，我们可以用图来说明． 按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形． 按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形． 按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形． 答：余下的图形是五边形或四边形或三角形． 【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题． 举一反三： 【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝ 。 【答案】220° 【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C. 类型二、多边形内角和定理 2. 如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【思路点拨】根据三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，即可解答． 【答案与解析】 解：如图， ∵∠BPO是△PDC的外角， ∴∠BPO=∠C+∠D， ∵∠POA是△OEF的外角， ∴∠POA=∠E+∠F， ∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°． 【总结升华】本题考查了三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，解决本题的关键是熟记三角形外角的性质． 举一反三： 【高清课堂：多边形及其内角和 例5（2）（3）】 【变式】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= . （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= . 【答案】（1）360°；（2）540° 3. 一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为 ( ) ． A．15 B．16 C．17 D．15或16或17 【思路点拨】一个多边形截去一个角后的多边形的边数不确定，要分类讨论． 【答案】D 【解析】 解：本题可设新多边形为n边形，由题意可知，原多边形可以为n边形；(n+1)边形；(n-1)边形： 即(n-2)×180°＝2520° 解得n＝16． 故n-1＝15，n+1＝17． 因此原多边形可以是十五边形，也可以是十六边形，也可以是十七边形，所以选D． 【总结升华】此问题比较抽象，可以利用四边形类比发现其规律，然后再推广到一般． 【高清课堂：多边形及其内角和 例2、3】 举一反三： 【变式1】（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数。 （2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数. 【答案】（1）用2005÷180=11余25，n-2=11，n=13． （2）用2570÷180=14余50，180o-50o =130o 【变式2】（2015秋•赵县期中）已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值． 【答案】 解：∵AB∥CD，∠C=60°， ∴∠B=180°﹣60°=120°， ∴（5﹣2）×180°=x+150°+125°+60°+120°， ∴x=85°． 类型三、多边形的外角和 4.科研人员为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ( ) A．6米 B．8米 C．12米 D．不能确定 【答案】B 【解析】 解析：先按照程序的步骤画图(如图所示)，发现一次转弯后不能回到出发点，从画出的图形，可以发现要使机器人回到点A处，那么机器人走过的路径应该是一个多边形，每次转弯的角就是这个多边形的外角．利用多边形的外角和为360°，而45°×8＝360°，所以经过8次转弯即可到达点A处．又因为每次走1米，所以该机器人所走的总路程为8米． 【总结升华】解决此题的关键同样是把生活实际问题转化为数学问题，在散步之中感悟数学知识．其中蕴含了多边形的外角和为360°的有关知识．本例为“设计程序”类考题，读懂程序，画出图形，理解很重要． 举一反三： 【变式】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量. 这