第17章《勾股定理》（导图+知识梳理+五大考向精讲精练）2023-2024学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练

=2023-2024学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第17章 勾股定理 （思维导图+知识梳理+五大重点考向举一反三讲练） 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 知识点01：勾股定理 【高频考点精讲】 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点02：勾股定理的逆定理 【高频考点精讲】 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 【高频考点精讲】 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 重点考向01：勾股定理 重点考向02：勾股定理的证明 重点考向03：勾股定理的逆定理 重点考向04：勾股数 重点考向05：勾股定理的应用 重点考向01：勾股定理 【典例精讲】（2023秋•镇平县期末）如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　） A． B．﹣1 C． D．2﹣ 【变式训练1-1】（2023秋•镇海区校级期末）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　） A．n＝p B．m+q＝y C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2 【变式训练1-2】（2023秋•靖江市期末）在平面直角坐标系xOy中，点E（4t+8，﹣3t﹣3）是该平面内任意一点，连接OE，则OE的最小值是 　　． 【变式训练1-3】（2023秋•萍乡期末）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 　 ． 【变式训练1-4】（2023秋•丰泽区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点M为边AB的中点，点D在边BC上． （1）若AC＝3，BC＝4，MD⊥AB（如图①），求MD的长； （2）过点M作ME⊥MD与边AC交于点E（如图②），试探究：线段AE、ED、DB三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式训练1-5】（2023秋•黄渤海新区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE的度数； （2）若AD⊥BC，垂足为点D，DF⊥AE，垂足为F，∠ADF＝74°，DF＝5，AF＝11，求AD的长． 【变式训练1-6】（2023•前郭县二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5； （2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为、、． 重点考向02：勾股定理的证明 【典例精讲】（2023秋•射洪市期末）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在