7.5多边形的内角和与外角和 讲义 2023-2024学年苏科版数学七年级下册

7.5多边形的内角和与外角和 （讲义） 教学目的： 1、多边形的内角和问题 2、正多边形的内角、外角问题 3、多边形的外角和应用 4、多边形的内角和与外角和综合问题 教学重难点： 1. 掌握三角形的三个角之间的关系 2. 掌握多边形的内角和与外角和的公式及运用 知识梳理 【知识点一】三角形的三个内角之间的关系 1. 三角形的内角和是180°. 当已知三角形两个内角的度数或两个内角的度数和时，利用它可求第三个内角的度数，当已知三个内角间的一些数量关系时，也可利用它列方程求各个角的度数. 2. 直角三角形两个锐角和是90°，即直角三角形的两个锐角互余； 3. 三角形的三个内角中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，三角形中最大内角不小于60°. 【知识点二】多边形的内角和公式 1. n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)； 通过多边形的内角和公式可以通过边数求内角和，或通过内角和求多边形的边数. 2. 多边形的内角和公式推导： 如图所示，从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把n边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是(n-2)·180°. 3. 正多边形：各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.正n边形的每个内角都为. 【知识点三】多边形的外角和公式 1. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 2. 多边形的外角和：在多边形的每个顶点处分别取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°. 3. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于. 4. 多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等于n个180°的平角减去多边形的内角和，即. 典型例题 【例1】如图，∠D＝80°，∠C＝30°，∠A＝75°，则∠B＝（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【例2】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝45°，∠ACE＝65°，则∠A的度数是 　 　． 【例3】如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于 　 　． 【例4】如图，△AOB与△COD中的∠AOB与∠COD是对顶角． （1）如图1，证明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，AP，DP分别是∠BAO，∠CDO的平分线，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明； （3）如图3，∠BAO与∠CDO的相邻补角平分线交于点P，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明． 举一反三 题型一：三角形的内角关系 【变式1】在△ABC中，已知∠A＝4∠B＝104°，则∠C的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【变式2】将一副三角板按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（　　） A．75° B．95° C．105° D．115° 【变式3】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　（ ） A．85° B．75° C．60° D．45° 题型二：多边形的内角和公式 【变式1】若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（   ） A．10 B．11 C．9 D．8 【变式3】 一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 题型三：多边形的外角和 【变式1】如果多边形的每一个外角都是20°，那么这个多边形的边数是（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【变式2】一个正n边形的每个外角都为，则边数n为______．内角和度数为__________． 【变式3】如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 题型四：多边形内角和与外角和的综合运用 【变式1】如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　） A．40° B．42° C．30° D．52° 【变式2】已知：如图所示的图形中，有6个顶角分别是，，，，，．求证：． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°． （1）如