6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识点总结与题型讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (重点题型方法与技巧) 目录 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 (重点题型方法与技巧) 1 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 1 1、分类加法计数原理： 1 1、分步乘法计数原理 2 2、乘法原理的特点： 2 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 2 1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： 2 考点二 分步乘法计数原理 3 考点三 两个原理的综合应用 5 1、使用两个原理的原则 5 2、应用两个计数原理计数的四个步骤 5 3、与两个计数原理有关问题的解题策略 5 未来六天空气质量预报 6 考点四：选（抽）取与分配问题 7 考点五：代数中的数字排列问题 8 考点六：几何计数问题 9 考点七：数字排列问题 9 考点八：涂色问题 10 考点九：种植问题 12 【知识点梳理】 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 知识点二、分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ②完成每一步有若干种方法； ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别： 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用 1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： （1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？ （2）然后考虑如何完成？主要有三种类型 ①分类或分步． ②先分类，再在每一类里再分步． ③先分步，再在每一步里再分类，等等． （3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？ 考点一：分类加法计数原理 解题方略： 应用分类加法计数原理应注意如下问题 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事． (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的． 【例1】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．15种 D．11种 【例2】．解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．21种 C．24种 D．36种 【例3】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．15种 D．11种 【例4】某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任学生会主席，共有_____一种不同选法. 【例5】小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种． 【同步加强】 【变式1】：如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________． 考点二：分步加法计数原理 解题方略： 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步． (2)计数：求出每一步中的方法数． (3)结论：将每一步中