第01讲 二次根式-2023-2024学年八年级数学下册高频考点精讲与热点题型精练（浙教版）

第1讲 二次根式 知识点： 二次根式的概念 定义：像，这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。 根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于等于0。 二次根式的性质 ①双重非负性：， ② ③ ④ ⑤ 最简二次根式 像，，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。 二次根式的运算 乘法法则： 除法法则： 二次根式的分母有理化 二次根式的除法运算，通常采用把分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行，把分母的根号化去，叫做分母有理化。 二次根式的加减 二次根式的加减运算，通常应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。 二次根式的混合运算及其应用 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。 考点一、二次根式的基本概念、二次根式的性质 【例1】（1）如果有意义，则x的取值范围是（　　 ） A．x≤1 B．x≤1且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜1且x≠﹣2 （2）下列式子中，是最简二次根式的是（　 　 ） A． B． C． D． （3） 当x=　 　时，最简二次根式与是同类二次根式． 【例2】（1）化简二次根式的结果是（　　） A． B． C． D． （2）若2＜a＜3，则化简得（　 　） A．5﹣2a B．2a﹣5 C．1﹣2a D．2a﹣1 （3）已知x，y为实数，且y＝﹣+4，则+＝　 　． 若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝　 　． （4）已知代数式的值是常数1，则a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a≤2 C．2≤a≤3 D．a=2或a=3 【例3】如果，那么x的取值范围是（　　） A．1≤x≤2 B．1＜x≤2 C．x≥2 D．x＞2 【例4】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　） A． B． C．1 D．3 【例5】已知，且x为偶数，求的值． 【举一反三】 1．若是二次根式，则下列说法正确的是（　　） A．x≥0，y≥0 B．x≥0且y＞0 C．x，y同号 D．≥0 2．把二次根式化简为（　　） A． B． C． D． 3．在根式、、、、中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．观察下列各式：；；；… 则依次第四个式子是　 　；用n（n≥2）的等式表达你所观察得到的规律应是　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，m），B（n，0），C（n，4）三点，其中m，n满足关系式m＝+2．若在第二象限内有一点P（a，1），使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积之比为7：6，则点P的坐标为 　　． 6．若和都是最简二次根式，则m=　 　，n=　 　． 考点二、二次根式的化简、运算 【例1】1．已知x+=，则x﹣的值是（　　） A． B．﹣ C．± D．不能确定 2．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是（　　） A．3 B． C．2 D． 【例2】1．化简计算：2+4=　 　． 2．（☆）化简计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6）比较与6大小，并说明理由． 3．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： ﹣3x=x2﹣5x+1，若x=，则手捂二次三项式的值为　 　． 【例3】阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；（Ⅰ）；（Ⅱ）．（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（Ⅳ） （1）请用不同的方法化简． ①参照（Ⅲ）式化简：． ②参照（Ⅳ）式化简：． （2）化简：． 　 【例4】已知，求． 【例5】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b=m，ab=n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12 即， ∴== （1）填空：=　 　，=　 　 （2）化简：． 【举一反三】 1． 当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣． 3．计算： （1）； （2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2； （3）； （4）（﹣2）×﹣6． 4．阅读下面问题： =﹣1，=﹣，=，=，… 从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值： ． 5