7.1.2 全概率公式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7．1．2　全概率公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式的过程； 2.理解全概率公式的形式，并会利用全概率公式计算概率； 3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 重点 难点 重点:利用全概率公式计算概率. 难点:理解全概率公式的形式. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有P(B)＝_______________. 全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．条件： (1)A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集． (2)已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因Ai(i＝1,2，…，n)所引起的，则事件B发生的概率P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因 Ai(i＝1,2，…，n)引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关．全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和，是计算复杂概率问题的有力工具． (3)全概率也是条件概率． 1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为 (　 ) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 答案：C　 解析：本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 2．设袋中共有10个球，其中2个红球，其余为白球，两人分别从袋中任取一球，则第二人取得红球的概率为________．(第一人取出的球不放回) (1)全概率公式用于求结果概率，即全概率公式是“由因索果”，贝叶斯公式是“由果索因”． (2)利用贝叶斯公式求概率时，通常先利用全概率公式计算出复杂事件B的概率P(B)． 答案：B　 [题点一] 全概率公式的理解 [方法技巧] 全概率公式的使用要点 (1)如果所考虑问题的试验分两步，第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二步试验结果有关的事件的概率，此时可用全概率公式解决． (2)用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分，这可以从第一步试验的结果确定． 对点训练 答案：A　 [题点二] 全概率公式的实际应用 [例2]　现有甲、乙两盒，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，1个白球，先从甲盒中采用不放回抽样取3个球放入乙盒，再从乙盒中取1个球，求取到的是红球的概率． [方法技巧] 在实际问题中，对于“已知结果求原因”类题目，它所求的是条件概率，即在已知某结果发生的条件下，探求各种原因发生的可能性的大小，所以应先利用全概率公式，计算出结果的概率，然后再利用条件概率公式求解． 对点训练 2.某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队获胜的概率； (2)当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,求球员甲担当前卫的概率. 解：(1)设A1表示“甲球员担当边锋”，A2表示“甲球员担当前卫”，A3表示“甲球员担当中场”，A1，A2，A3两两互斥，设B表示“球队赢了某场比赛”， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.6＋0.3×0.8＋0.2×0.7＝0.68.故当甲出场比赛时，球队获胜的概率为0.68. [题点三] *贝叶斯公式及其应用 [例3]　作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加．除李夏以外的其他参赛选手中，40%是一类棋手，30%是二类棋手，其余的是三类棋手．李夏与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.2,0.4和0.5. (1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛,求李夏获胜的概率； *(2)如果李夏