3.1 向量的数乘运算(概念课—逐点理清式教学)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

3.1　向量的数乘运算(概念课—逐点理清式教学) 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 课时目标 1 2 目 录 3 逐点清(一)　向量的数乘的概念 逐点清(二)　向量的线性运算 逐点清(三)　向量的线性表示 2 [多维度理解] 1．向量的数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作_____，满足以下条件： (1)当λ＞0时，向量λa与向量a的方向_______；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向______；当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝ ______.这种运算称为向量的数乘． 逐点清(一)　向量的数乘的概念 相同 相反 |λ||a| λa 2．λa的几何意义 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在____方向伸长或缩短为原来的λ倍． 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在_____方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 原 反 微点助解 (1)实数与向量数乘λa中，实数λ称为向量a的系数． (2)实数与向量的乘积仍是一个向量，它可以看成实数与实数的乘积的推广．但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义． (3)当λ＝0或a＝0时，均有λa＝0.反之，若λa＝0，则λ＝0或a＝0. 答案：ABC　 2．(多选)已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是 (　 ) A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C．λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 答案：ABC　 解析：由λ与向量a的积λa的方向规定，知A、B正确；对于C、D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C正确，D错误．故选A、B、C. 3．要得到向量－2a，可将 (　 ) A．向量a向左平移2个单位长度 B．向量a向右平移2个单位长度 C．向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍 D．向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍 答案：D　 解析：根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍．故选D. [多维度理解] 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，那么 (1)λ(μ a)＝________； (2)(λ＋μ)a＝ ________ ； (3)λ(a＋b)＝ ________ ； (4)(－λ)a＝ ________ ＝λ(－a)，λ(a－b)＝ __________. 逐点清(二)　向量的线性运算 (λμ)a λa＋μa λa＋λb －(λa) λa－λb 2．向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． [细微点练明] 1.(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　 ) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 答案：AB　 解析：m(a－b)＝ma－mb，A正确；(m－n)a＝ma－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，D错误． 逐点清(三)　向量的线性表示 [方法技巧] 向量线性表示的求解思路 (1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中． (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 答案：B　 3．单位向量的表示 与非零向量a同方向的单位向量是______，与非零向量a反方 向的单位向量是________. － [细微点练明] 1. (多选)已知a，b为非零向量，则下列命题正确的是 (　 ) A.2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B.－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a的模的倍 C.－2a与2a是一对相反向量 D.a－b与－(b－a)是一对相反向量 解析：2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，故A正确．－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向．∵－a与a反方向，∴－2a与3a反方向．又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，∴－2a的模是3a的模的倍，故B正确．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故C正确．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向