1.1菱形的性质与判定－－菱形的判定考点训练 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定－－菱形的判定考点训练 北师版 九年级上 第一章 特殊平行四边形 【新考法】【2023·嘉兴】小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流. 1 2 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明. 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD． ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明. 3 解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC， 证明如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． (补充的条件不唯一) 4 2 【点拨】 ∵BC＝2AB，BE＝CE，∴AB＝BE.∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE＝CE，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，①正确．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD＝BC＝2AB，∴AB＝2OE，∴AD＝4OE，②正确． 6 【答案】A 7 下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是(　　) A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD 3 B 【点拨】 利用菱形的几种判定方法判断一个四边形是否是菱形时，一定要理解这些判定方法，按部就班，一步步推导，不要臆造菱形的判定方法． 【2023·聊城】如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F. 4 (1)求证：AD＝CF； 证明：∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE. ∵点E是AC的中点，∴AE＝CE. ∴△ADE≌△CFE(AAS)． ∴AD＝CF. (2)连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论. 解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形．证明如下： 由(1)知，AD＝CF. 又∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形． ∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，∴DE∥BC. ∵AC⊥BC，∴AC⊥DE，∴DA＝DC， ∴四边形ADCF是菱形． 【2023·北京四中月考】如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF. 5 (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； 证明：在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD. ∵AE＝CF，∴OE＝OF. ∴四边形EBFD是平行四边形． (2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC. ∴∠BAC＝∠DCA. 又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC. ∴DA＝DC. ∵OA＝OC，∴DB⊥EF. 又∵四边形EBFD是平行四边形， ∴四边形EBFD是菱形． 【母题：教材P7习题T1】【2023·泰安】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F.∠ABC＝60°，BC＝2AB，有下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC． 其中正确结论的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 易证△AOF≌△COE，∴OE＝OF.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AE＝EC，∴四边形AECF是菱形，③正确．∵BE＝EC，OA＝OC，∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，④正确． $$