2.6 用导数研究函数的性质 课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6 用导数研究函数的性质 2.6.1 函数的单调性 2.6.2 函数的极值 2.6.3 函数的最值 2.6.1 函数的单调性 学习目标 理解导数的符号与函数的单调性的关系. 掌握函数的单调性与函数图像的关系. 掌握利用导数求函数的单调区间. 我们知道，对于函数来说，导数刻画的是函数在点的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值随自变量取值的增加而增加， 或函数值随自变量取值的增加而减少.两者都在刻画函数的变化，那么，导 数与函数的单调性之间有何关系呢？ 问题提出 1.先判断下面几个一次函数的定义域，计算其导数,，并讨论这些一次函数的单 调性. (1) (2) (3) 函数的图象如图所示. 经分析，三个一次函数定义域均为即 (1) (2) (3) 函数的导数都是正的，在定义域上函数值都是随着 增加而增加的；函数的导数是负的，在定义域函数值是随着 的增加而减少的. 实例分析 (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) 实例分析 的定义域为，的定义域为 对于函数，相应的定义域上的每一个都满足函数在 其定义域上是增函数； 对于函数，相应的定义域上的每一个都满足,函数其 定义域上是减函数. 2.先判断下面几个指数函数、对数函数的定义域，计算其导数,，并讨 论这些函数的单调性.（无理数…） 实例分析 3.最后再看幂函数的定义域、导数及其单调性. 函数为. 函数的导数是其图象如图所示. 当自变量时，,函数区间上单 调递增； 当自变量时，函数区间上单 调递减. 实例分析 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在某个区间上，函数的导数,则在这个区间上，函 数单调递增； (2)若在某个区间上，函数的导数,则在这个区间上，函 数单调递减. 若在某个区间上，,且只在有限个点为0，则在这个区间上，函 数单调递增；若在某个区间上，,且只在有限个点为0， 则在这个区间上，函数单调递减. 新课探究 解： 设则,即或 故当时，，因此，在这两个区间上， 函数单调递增； 当时，，因此，在这个区间上，函数单调递减. 例题解析 例1 讨论函数的单调性 例题解析 函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊的点，如等，就可以画出函数的大致图象.如下图，即为函数的大致图象. 1.函数 的单调增区间是( ) A. B. C. D. 解析：函数的定义域为. ,要求其单调递增区间，令,即, ,， 解得.故选C. 即时练习 2.设，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 解：. 由题意，要求单调递增区间，即，,， 解得或.又由题意，. 综上，解得函数单调递增区间为.故选C. 即时练习 根据导数求函数的单调性步骤： 1.确定函数的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式，求得函数单调递增区间； 解不等式求得函数单调递减区间. 归纳总结 1.函数区间（0，1）上是（ ） A.单调增函数 B.单调减函数 C.在上是减函数，在上是增函数 D.在上是减函数，在上是增函数 解；定义域为. . 令,,,; 令,,,. 故在区间（0，1）上，在上是减函数，在上是增函数.故选C. 巩固练习 无理数… （1）; 解：函数的定义域为. , 当，得,所以，函数在上单调递增； 当，得，所以，函数在上单调递减. 巩固练习 1.讨论下列函数的单调性： (2). 解：函数的定义域为 , 当,，，得,所以， 在上单调递增； 当，，，得或，所以， 在上单调递减. 巩固练习 2.6.2 函数的极值 学习目标 理解函数极值的概念. 函数极值的判断与极值点的求解. 如图（1），在包含一个区间上，函数在任何不为一点处的函数值都小于点的函数值，称点函数极大值点，其函数值函数的极大值. 如图（2），在包含一个区间上，函数在任何不为一点处的函数值都大于点的函数值，称点函数极小值点，其函数值函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值. 新课探究 极值是函数的一种局部性质，如图3中，,，都是函数的极大值点，都是函数的极小值点.从图中可以看出，函数的某些极大值有时候比其他极大值小，如，甚至可能比一些极小值小，如