17.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用（教学课件）-【七彩作业】2023-2024学年八年级数学下册同步教学（人教版，河北专版）

八年级下册 数学 人教版 2024 第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理 第2课时 勾股定理及其逆定理的应用 学习目标 能够运用勾股定理及其逆定理解决相关实际问题,发展学生分析问题、解决问题的能力,用数学的思维思考现实世界. 学习重难点 学习重点：勾股定理逆定理的实际应用. 学习难点：勾股定理及其逆定理的综合应用. 复习回顾 回顾勾股定理的逆定理的内容. 答：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 探究新知 学生活动四【典例精讲】 例1 如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗? 探究新知 港口 东 北 P 16×1.5=24 12×1.5=18 30 R Q S 45° 分析 探究新知 解:如图,连接RQ.根据题意,得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5= 18,QR=30.因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°. 如图,由“远航”号沿东北方向航行可知,∠1=45°.因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行. 探究新知 例2 已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7, AD=24,∠B=90°.求证:∠A+∠C=180°. 探究新知 解:如图,连接AC.在Rt△ABC中,因为AB=20,BC=15,∠B=90°. 由勾股定理,得AC===25. 在△ADC中,因为AD=24,DC=7,AC=25. 又因为242+72=252,所以AD2+CD2=AC2. 所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°. 因为∠B=90°,所以∠CAB+∠BCA=90°. 所以易得∠DAB+∠DCB=180°,即∠A+∠C=180°. 探究新知 例3　如图,BE⊥AE,∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC=2, CD=,DE=3,求证:AD⊥CD. 探究新知 证明:证法一.在Rt△AEB中,因为∠AEB=90°,∠A=60°,所以∠ABE=30°.因为AB=4,所以AE=2.由勾股定理,得BE===2. 在△BEC中,因为∠EBC=60°,BC=BE=2,所以EC=2. 在△EDC中,因为(2)2-()2=32, 所以EC2-DC2=DE2.所以∠D=90°.所以AD⊥CD. 探究新知 证法二.如图,延长AD,BC交于点M. 因为BE⊥AE,∠A=60°,所以∠ABE=30°. 因为∠EBC=60°,所以∠ABM=90°. 在Rt△ABE和Rt△ABM中, 易得AE=2,AM=8,BE=2,BM=4. 在△MDC中,因为(4-2)2-()2=(8-2-3)2, 所以MC2-DC2=DM2.所以∠MDC=90°. 所以AD⊥CD. 扩展应用 1.A,B,C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向? A B C 5 cm 12 cm 13 cm 解:因为BC2+AB2=52+122=169, AC2=132=169,所以BC2+AB2=AC2. 即△ABC是直角三角形,∠B=90°. 答:C地在B地的正北方向. 扩展应用 2.有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1 cm,又向南跳2 cm,再向西跳3 cm,然后又跳回原点,问电子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的?所跳距离是多少厘米? 扩展应用 解:根据题意,结合图可知电子跳蚤跳回原点的运动方向是东北方向;所跳距离是2 cm. 1 2 3 y x O 扩展应用 3.如图,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以15 km/h的速度沿北偏西60°方向前进,乙船以15 km/h的速度沿东北方向前进.甲船航行2 h到达C处时发 现渔具丢在乙船上,于是快速(匀速)沿 北偏东75°方向追赶,结果两船在B处 相遇. (1)甲船从C处追赶上乙船用了多少时间? (2)甲船追赶乙船的速度是多少千米/时? 扩展应用 北 东 A 60° 45° 北 东 C 75° B 15° 30° 30° 45° C D 30 30 30° 60 乙船 甲船 甲船 分析 扩展应用 解:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,作CG∥AE交AD于点G. 因为乙船沿东北方向前进,所以∠HAB=45°. 因为∠CAH=60°.所以∠CAB=60°+45°=105°. 因为CG∥EA,所以∠GCA=∠EAC=90°-60°=30°. 因为∠FCD=75°,所以∠BCG=15°,∠BCA=15°