专题1.2 平行线重难点模型-2023-2024学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题1.2 平行线重难点模型 重难点题型归纳 模型一：“铅笔模型” 模型二：“猪蹄模型” 模型三：“臭脚模型” 模型四：“抬头模型” 模型一：“铅笔模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 【典例1】（2023秋•北碚区期末）如图，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间一点． （1）如图1，求证：∠B+∠D+∠E＝360°； （2）如图2，若∠B＝120°，∠BED，∠CDE的平分线相交于点F．求∠DFE的度数； （3）如图3，若∠D＝α，∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF．请直接写出∠BFE的度数（用含α的代数式表示）． 【变式1-1】（2023春•宝坻区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠C＝130°，求∠E的度数． 【变式1-2】（2023秋•西山区校级期末）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝　　；如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝　　； （2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝　　； （3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝80°，求∠BFD的度数． 【变式1=3】（2023秋•白银期末）（1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是　　 ；∠2＝∠4，依据是　 　； ②反射光线BC与EF平行，依据是　 　． （2）解决问题： 如图2．一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1＝40°，则∠2＝　　；∠3＝　 ． 模型二：“猪蹄模型” 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 【典例2】（2023秋•辽阳期末）综合与实践 【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP． 易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作PQ∥AB. 小红：如图3，延长AP交CD于点M. 请你选择一位同学的方法，并进行证明： 【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF； 【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数． 【变式2-1】（2023春•黔江区期末）如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　　°． 【变式2-2】（2022春•奉化区校级期末）（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是　　 ；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝　　°． （2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系． 【变式2-3】（2022春•连平县校级期末）如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°． （1）求证：AB∥DE； （2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由． 【变式2-4】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角． （1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系； （2）当动点G落在第②部分时，如图二，思