5.1.2 导数的概念及其几何意义 课件（二）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.1.2 导数的概念及其几何意义 （第二课时） 1、据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 2、正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程. 3、培养学生核心素养：数学抽象、数学运算、数学直观 学习目标 复习回顾 1.导数（瞬时变化率）定义： 如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值， 即 有极限，则称_________________________， 并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________ ) ,记作______或______. 用极限符号表示这个定义，就是__________________________________ y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导 瞬时变化率 y＝f (x)在x＝x0处的导数 2.求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤 问题1 我们知道，导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，那么导数f'(x0)的几何意义是什么? x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 探究新知 观察函数y=f(x)的图像 , 平均变化率和瞬时变化率各表示什么? 与上一节问题2中抛物线的割线与切线的关系类似，对于一般的函数y=f(x),当P无限趋近于P0时， 割线位置 切线位置 无限逼近 割线斜率 切线斜率 无限逼近 于是，我们得到 割线的斜率 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 这就是导数的几何意义. 结论: 新课知识 7 导数的几何意义 继续观察图，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线. 将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替. 用GGB画100边形，通过缩放画面体验以直代曲思想. 7 【例1】 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象. 根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况. 例题精讲 8 O t 从图中可以看出， 直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度， 这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢. 附近曲线的变化情况 曲线比较平坦，几乎没有升降. 曲线下降，函数单调递减. • 曲线下降，函数单调递减. • • 8 【例2】 下图中是人体血管中药物浓度 (单位: )随时间 (单位:)变化的函数图象. 根据图象， 估计，时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 例题精讲 解： 如图示，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作处的切线, 并在切线上取两点, 9 如, , 则该切线的斜率 9 新课知识 10 导函数的概念 从求函数在处导数的过程可以看到，当时， 是一个唯一确定的数. 这样， 当x变化时，就是的函数， 我们称它为的导函数(derived function) ( 简称导数). 的导函数有时也记作，即 例1中的函数 的导函数为 = 次数降低，对函数的研究更容易. 10 新知辨析 （3）函数在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 在 x = x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。 问题3：函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？ （1）函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，它是一个变量。 问题4 如何求函数y=f (x)的导数? 新知探究点：导函数 1. 根据图象，描述曲线h(t)在t=t3, t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况. t4 h t3 O • • t • l3 l4 解: (1) 当t=t3时, 曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(3)>0. 这时, 曲线在t=t3附近上升, 即函数h(t)在t=t1附近单调递增. (3)当t=t4时, 曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t2)>0. 这时,在t=t2附近曲线上升,即函数h(t)在t=t2附近也单调递增. 从图中可以看出