第4章 随机变量的数字特征（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

CH4 随机变量的数字特征 2024/2/27 1 数学期望 2 方差 3 协方差、相关系数和矩 PART 1 4.1 数学期望 4.1.1 数学期望的定义 定义4.1 设离散型随机变量的概率分布为 如果级数 收敛，则称级数 为随机变量的数学期望(或均值)，记为 (或)，即 若级数 发散，则称不存在。 1.离散型随机变量的数学期望 2024/2/27 关于定义的几点说明： 4.1.1 数学期望的定义     (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同. 2024/2/27 4.1.1 数学期望的定义 例1. -1 0 1 2 0.2 0.3 0.4 0.1 设随机变量的分布律如下 求 解 。 2024/2/27 4.1.1 数学期望的定义 例2. 有两名射击手，对他们的射击技术数据进行统计如下表： 请问哪名射击手射击水平较高？   1号射击手 2号射击手 击中环数 8 9 10 8 9 10 0.4 0.1 0.5 0.2 0.2 0.6 解 设随机变量表示1号射击手击中的环数，随机变量表示2号射击手击中的环数，因此，1号射击手平均命中的环数 由此可见，2号射击手的射击水平比1号射击手的射击水平高。 （1）0-1分布：若，即的分布律为，则 . 证： （2）二项分布：若，即其分布律为，则 . 4.1.1 数学期望的定义 下面给出一些常见的离散型随机变量的数学期望 （3）泊松（Poisson）分布：若,即的分布律为，则 . 证： 4.1.1 数学期望的定义 设连续型随机变量的概率密度为如果积分 收敛,则称积分 为随机变量的数学期望(或均值)，记为 (或), 即 若级数发散,则称不存在. 2.连续型随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的定义 2024/2/27 解: 例3.设随机变量的概率密度函数为 求的数学期望。 4.1.1 数学期望的定义 2024/2/27 例4. 设某企业在线上平台销售某商品，已知该商品的月需求量为随机变量（单位：件），它服从区间[3000,5000]上的均匀分布，每销售1件可获得利润8元；若销售不出，则每件商品需存储费4元。应该组织多少货源，才能使该企业收益最大？ 4.1.1 数学期望的定义 解 设需组织货源件，显然应满足企业收益为（单位：元）是关于随机变量的函数，即，则有 由于随机变量，则有概率密度函数， 2024/2/27 4.1.1 数学期望的定义 考虑的取值使得达到最大，易得，故组织4333件商品时，收益最大。 均匀分布：若,即的概率密度函数为 则. 证： 下面给出一些常见的连续型随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的定义 （2）指数分布：若,其中 即的概率密度函数为 则. 证： 4.1.1 数学期望的定义 （3）正态分布：若,其中即的概率密度函数为 则. 证： 4.1.1 数学期望的定义 设随机变量的函数为为连续函数,则 (1)若为离散型随机变量,分布律为且收敛,则 (2) 若为连续型随机变量,概率密度为且收敛,则 4.1.2 随机变量函数的数学期望 设随机变量的函数为为连续函数,则 (1)若为离散型随机变量,分布律为且收敛, 则 (2)若为连续型随机变量,概率密度为且收敛,则 4.1.2 随机变量函数的数学期望 例5. 设随机变量的分布律为： -1 0 1 0.2 0.5 0.3 求 。 解： 4.1.2 随机变量函数的数学期望 例6. 设随机变量的概率密度函数为 求：（1）；（2）的数学期望。 解 （1） （2） 4.1.2 随机变量函数的数学期望 20 1 3 0 1/5 2/5 1 1/5 1/5 例7. 设是二维离散型随机变量，与的联合分布律如下所示： 求: 。 解 4.1.2 随机变量函数的数学期望 例8. 设是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为 求: 和. 解 4.1.2 随机变量函数的数学期望 性质1： . 推论1： 为常数,则 推论2 ：设随机变量, 为常数,则 推论3： 性质2： 设随机变量是两个相互独立的随机变量,则有. 4.1.3 数学期望的性质 例9. 设随机变量之间相互独立，且都服从，求的数学期望。 4.1.3 数学期望的性质 解 由于在伯努利试验中，每次试验中事件发生与否对应的随机变量取值为1或0，则 重伯努利试验中事件发生的次数可能取值为若考虑则要求 中有个随机变量取值为1，共有种不同组合方式，而其余个随机变量取值为0， 由于相互独立，那么对于重伯努利试验中事件发