第3章 二维随机变量及其分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

CH3 二维随机变量及其分布 2024/2/27 5 二维随机变量函数的分布 1 二维随机变量与联合分布函数 2 二维离散型随机变量 3 二维连续型随机变量 4 条件分布于随机变量的独立性 抛砖引玉 【引例】1. 股票指数：股票价格指数为度量和反映股票市场总体价格水平及其变动趋势而编制的股价统计相对数。 抛砖引玉 2024/2/27 【引例】2. 对大学生的身体健康情况进行检测时，两个最基础的指标是身高和体重。如果要对西安市所有的大学生的身高和体重进行数据分析 身高 体重 定义在 上的两个一维随机变量 𝑆={𝜔}={西安市全部大学生} 本章的知识框架 2024/2/27 联合分布函数 联合分布律 联合密度函数 二维随机变量 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 联 合 分 布 函数的分布 边缘分布 条件分布 随机变量独立性 PART 1 3.1 二维随机变量与联合分布函数 3.1.1 二维随机变量的概念 定义3-1：设随机试验的样本空间为, 和定义在上的一维随机变量，由它们构成的向量称为二维随机变量或二维随机向量，并称X，Y为二维随机变量(X,Y)的两个分量。 2024/2/27 在几何上，二维随机变量可看作是平面直角坐标系中的一个随机点。 定义3-：设是随机试验的样本空间, 对任意的,按照一定的法则，在平面上有确定的点之对应，称点的坐标，为二维随机变量或二维随机向量，简记为。 3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质 定义3-2：设为二维随机变量，对于任意实数，二元函数 称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数。 2024/2/27 在几何上， 在处的函数值就是随机点落在点左下方区域内的概率。 3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质 2024/2/27 单调性 是变量和函数，即对任意固定的，当时，。对任意固定的，当时，; 有界性 对任意的实数，有；且对固定的， 且对固定的， 且 。 连续性 , 即关于右连续，关于右连续； ※ 联合分布函数的性质 3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质 ※ 关于概率的计算 联合分布函数的定义： 根据单调性可知，对任意的实数 ，，则有 。 那么 2024/2/27 例1. 已知的联合分布函数 求常数 3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质 【有界性】： 。 【解】： 解得. 2024/2/27 3.1.2 二维随机变量的联合分布函数及其性质 例2 设二元函数，试判断是否可作为一个二维随机变量的分布函数，并说明理由。 【解】：令，，，则 因此不可作为二维随机变量的分布函数. 引例回头看 2024/2/27 假定：两个金融市场相互独立，且上证指数 ，深证指数 , 则服从二元正态分布。 在几何上，二维随机变量可看作是平面直角坐标系中的一个随机点。 PART 2 3.2 二维离散型随机变量 3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律 定义1 设二维离散型随机变量的取值集合}，则称 ， 为二维离散型随机变量的联合分布律。 2024/2/27 【性质】 二维离散型随机变量联合分布律的性质 （1）（非负性） （2）（规范性） 二维离散型随机变量的联合分布函数： 3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律 例1. 一个纸箱中有编号分别为 的三只求 ，从中不放回地任取两次球，以分别表示第一次、第二取到球的编号，求的联合分布律。 2 3 2 0 3 【解】： 3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律 2024/2/27 例2. 设二维随机变量的联合分布律为 求 -1 0 1 -1 0.05 0.1 0.1 0 0.15 0.15 0.15 1 0 0.05 0.25 【解】：满足条件的所有可能取到的值为，，，,因此所求概率就是在这些点上取值的概率的和，即. 3.2.1 二维离散型随机变量的联合分布律 2024/2/27 练习： 袋中装有10只黑球，2只白球，现从中依次取出两球，令 Y 在不放回抽样与有放回抽样两种方式下，求联合分布律。 3.2.3 二维型随机变量的边缘分布函数 2024/2/27 定义2 设二维随机变量的联合分布函数为 则称 和 分别为 和关于 的边缘分布函数。 联合分布律 边缘分布律 边缘分布函数 【注】二维随机变量边缘分布函数的确定方法。 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布 例3. 设二维随机变量的分布函数为 求关于和关于的边缘分布函数。 【解】：由定义知，的边缘分布函数为 的边缘分布函数为 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布函数 2024/2/27 定义3