第2章 随机变量及其分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

CH2 一维随机变量及其分布 4 随机变量函数的分布 1 随机变量及其分布函数 2 离散型随机变量 3 连续型随机变量 PART 1 2.1 随机变量及其分布函数 2.1.1 随机变量的概念 在上一章讨论随机事件及其概率中发现，在一些随机试验中，随机试验的结果本身就是一个数值，在另一些随机试验中，随机试验的结果并不是直接表现为数值。对随机试验的结果不是数值的情况，我们可使其数量化。 例2.1.1 抛一枚匀称的骰子一次，观察出现的点数。 例2.1.2 抛一个硬币，观察掷出的是正面还是反面。 例2.1.3 考察某个公交车站上乘客来到和离开的数量。 例2.1.4 测试某电子元件的寿命。 例2.1.5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现在连续射击30次。 例2.1.6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现在连续射击，直到第一次击中目标停止。 从上面的例子可以看到，不论哪一种情况，变量的取值都与随机试验的结果相对应，也就是说的取值都随着随机试验结果的不同而取不同的值，又由于随机试验的结果具有随机性，因此变量的取值也具有一定的随机性，所以称这样的变量为随机变量。用通俗的话来说，随机变量就是因随机试验结果的不同而随机地取各种不同值的变量。试验结果与随机变量之间的对应关系，也就是样本点与实数之间的对应关系。所以，随机变量可以用数学语言表示为： 设  是某随机试验的样本空间, 若 则称 为  上的 随机变量,简记 r.v. . r.v.一般用大写字母 或小写希腊字母 表示. 定义2.1.1 实数 按一定法则 2.1.1 随机变量的概念 而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母等. 随机变量通常用大写字母 或希腊字母等表示 2.1.1 随机变量的概念 随机变量是上的映射,此映射具有如下特点 定义域 ; 随机性 r.v. 的可能取值不止一个,试验前只能预知它的 可能的取值，但不能预知取哪个值。 概率特性 以一定的概率取某个值。 2.1.1 随机变量的概念 在同一个样本空间可以同时定义多个r.v.,例如 — 身高 — 体重 — 头围 各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系——即相互独立 2.1.1 随机变量的概念 2.1.2 随机变量的分布函数 引入随机变量后，可以用随机变量表示事件，我们关心的是这些概率如何求解。 由随机变量的定义可知，对于每个实数，是一个事件，因此有一个确定的概率与相对应，所以概率是的函数。这个函数确定了，我们可以求解其它任何事件的概率，而且这个函数在理论中也是很重要的，为此有下面的定义： 定义2.1.2 设为一随机变量，对任何实数，记函数 则称是随机变量的分布函数。 有了分布函数，我们可以利用分布函数计算事件的概率。对任意的实数有： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5) . 2.1.2 随机变量的分布函数 例2.1.7 已知随机变量的分布函数为 试求，，，。 解 2.1.2 随机变量的分布函数 例2.1.8 设随机变量在区间上取值，且在内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，与子区间的位置无关，求的分布函数。 解的分布函数为 2.1.2 随机变量的分布函数 分布函数具有以下性质： 性质1 (单调不减性) 是的单调不减函数。 性质2 (有界性) ，对一切成立，且 ， 性质3 (右连续性) 是右连续的函数，即对任意的，有 2.1.2 随机变量的分布函数 例2.1.9 判断下列函数是否为分布函数 (1) 。 (2) 。 解 (1) 当时，，所以是单调递减的函数，因此不是分布函数。 (2)因为，所以。，而，因此在零点不是右连续的，所以不是分布函数。 2.1.2 随机变量的分布函数 解 (1) 由分布函数的有界性有 ，， 故有，。 (2) 。 例2.1.10 设随机变量的分布函数为 求 (1) 常数，；(2) 。 2.1.2 随机变量的分布函数 例2.1.11 设随机变量的分布函数为 求 (1) 常数；(2) 。 解 (1) 由于分布函数在是右连续的，所以有 故。 (2) 2.1.2 随机变量的分布函数 PART 2 2.2离散型随机变量 定义2.2.1 如果随机变量的所有可能取值只有有限个或可列无穷多个，即它的取值可以表示为一个（有限或无穷）数列，则称这种类型的随机变量为离散型随机变量。 为了完整的描述随机变量，只知道它可能的取值是远远不够的，更重要的是要知道它取各个值的概率。为此，我们引入离散型随机变量分布律的概念。 定义2.2.2 设为离散型随机变量的所有可能取值，是取相应值的