湖南省资兴市职业技术学校2023-2024学年高三下学期入学考试数学试题

1 2024 年上期资兴市职业技术学校高三入学考试数学 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分） 1.已知集合  1,0,1 ,A B   ，则 A B  （ ） A. 0 B. 1,0,1 C. D. 1,1 2.不等式 2log 1x   的解集是（ ） A. 1,  B.  1,  C. 1 , 2       D. 1 , 2      3.计算 2024 log 1sin 2 6       的值是（ ） A. 1 2 B. 1 2  C.1 D.0 4.如图所示的几何体是一个半球，底面圆的直径为1，则该几何体的表面积是（ ） A. B. 2  C. 4 3  D. 3 4  5.已知定义在 R上的偶函数  f x ，当 0x  时，   2 2f x x x  ，则  1f  的值为（ ） A. 3 B.3 C. 1 D.1 6.已知直线 y kx 与圆  2 22 4x y   相交所得的弦长为 2 3，则 k的值是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 3  D. 3 3  7.已知向量 ,a b   的夹角 5 6  ， 1, 3a b    ，则 2a b    （ ） A. 7 B. 3 C. 19 D. 4 8.函数   sin 2 3 f x x       在区间 ,0 2     内的最大值为（ ） A. 3 2  B. 1 2  C. 1 2 D. 3 2 9.已知  61ax  的二项展开式中含 3x 的系数为 5 2 ，则 a  ( ) A. 1 8  B. 1 2  C. 1 2 D. 2 2 10.已知抛物线  2: 8 0C y px p  的焦点为 F ，C与抛物线 2x py 在第一象限的交点为 M ，若 3MF  ，则 p （ ） A.3 B. 4 3 C. 3 4 D. 3 8 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11.用系统抽样法（按等距离的规则）从160名学生中抽取容量为 20的样本，将这160名学 生从1到160编号.按编号顺序平均分成 20段（1 8 号，9 16 号，…，153 160 号）， 若在第1段中用简单随机抽样法确定的号码是3，则第17段应抽出的号码为 12.直线 l的方程为 2 1y x  ，直线m的方程为 2 4 0x y   ，则直线 l与m之间的距离 为 13.已知关于 x的不等式 2 0m x x   的解集为，则实数m的取值范围是 14.同时抛掷两枚骰子，观察出现的点数，则点数之和为3的概率是 15.已知 1 2,F F 分别为椭圆 2 2 1 2 x y  的左、右焦点，点 P为椭圆上一点，以 2F 为圆心的圆 与直线 1PF 恰好相切于点 P，则 1 2PF F  三、解答题(本大题共 6 小题，每小题都为 10 分，满分 60 分．解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 16.已知函数    3 xf x a  的图像过点  1,2 .（Ⅰ）求实数 a的值；（Ⅱ）若  f x  31 2        ，求实数 x的取值范围 17.我校某班组织一次街道路口文明劝导活动，有8名同学参加，其中5名男生、3名女生， 为了活动需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去做活动记录. （Ⅰ）已知8名同 学中有 2名共青团员，求抽取的3人中至少有1名共青团员的概率；（Ⅱ）设 X 表示抽取 的3名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望. 3 18.已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 8 64S  ， 6 11a  .（Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设数列 1 1 n na a        的前 n项和为  *nT n N ，求 5T . 19.如图，在三棱柱 111 CBAABC  中， AA1 ⊥底面 ABC， ,31 AA 1, 2AB AC  ， AB AC ．(Ⅰ)证明： BA 平面 11AACC ；(Ⅱ)求直线 CB1 与平面 11AACC 所成角的 正弦值 20.已知双曲线C : 2 2 2 2 1 y x a b    0, 0a b  的虚轴长为 4，焦距为 4 2；（Ⅰ）求双曲线 C的方程；(Ⅱ)经过点 11, 2 P      的一条直线 l与C相交于 A，B两点.若 P是