5.1.1变化率问题（2）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1导数的概率及其意义 5.1.1 变化率问题（2） 5.1.1 变化率问题（2） 3、通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 学习目标 1、会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念。 2、会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想 一、引 入 平均速度 瞬时速度 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤： 平均变化率 瞬时变化率 1.物体运动的瞬时速度的本质是平均速度的极限. 无限逼近 取极限 无限逼近 取极限 3.数学思想、方法： 特殊到一般、极限思想 几何意义？ LOGO 3 二、探究新知 问题1： 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢? 追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定 因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了. 不一定 x y O f(x)＝sinx －1 1 LOGO 4 新知探究：抛物线的切线斜率 下面我们以抛物线为例进行研究. 问题1：如何定义抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线？ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 与研究瞬时速度类似 在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2) 考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况 我们发现，当点P__________________，割线P0P____________________位置. 这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T 新知探究：抛物线的切线斜率 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 二、探究新知 追问3：如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0呢? 由切线定义知， x y 1 2 1 2 3 4 O P • P0 • T • 割线P0P的斜率为 切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记∆x＝x－1 ， P(1+∆x, (1+∆x)2)， 割线位置 切线位置 无限逼近 割线斜率 切线斜率 无限逼近 取极限 注： ∆x可以是正值，也可以是负值，但不为0. 让横坐标变化量 Δx趋近于0，观察割线斜率的变化情况. LOGO 7 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当∆x无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？ 发现：当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 探究新知 当点P无限靠近点P0，即∆x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T， 因此切线P0T的斜率为 ∆x无限趋近于0 无限趋近于2 记为 2.切线的斜率： LOGO 9 例2 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 例2 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率. 课本P64 课本P62 最下面 求抛物线y＝f(x)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可． 求抛物线在某点处的切线方程的步骤： 感悟提升 2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程. 课本P64 思考 观察问题1中的函数 的图象，平均速度 的几何意义是什么? 瞬时速度v(1)呢? P0 P T h(t)在t=1处的导数-5 是h关于t的瞬时变化率（物理意义） 是h在点(1,h(1))处的切线斜率（几何意义） 课堂小结 1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度 2.抛物线的割线及切线的斜率 无限逼近 无限逼近 ＝ 第一步：求Δt和Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求＝； 第三步：v＝s′(t0)＝