1.4 第1课时 角平分线的性质及逆定理学案 2023-2024学年 湘教版八年级数学下册

1.4 第1课时 角平分线的性质及逆定理 素养目标 1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理的简单应用. 2.掌握作已知角平分线的方法. ◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理的应用. 预习导学 知识点一 角平分线的性质定理 阅读课本本课时“动脑筋”之前的所有内容,回答下列问题. 1.角平分线是一条　 　,它把这个角分成两个相等的角.  2.通过折叠后,对应相等的线段有:　 　=　 　,　 = ,相等的角有∠　 　=∠　 　,∠　 　=∠　 　.  3.P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD,PE是　 　;在这两个三角形中有　 　对应相等,所以△PDO≌△PEO,根据　 　判定定理. 【答案】1.射线 2.PD　PE　OD　OE　AOC　BOC　DPO　EPO 3.垂线段　两角一边　AAS 归纳总结　角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的　 　相等.  【答案】距离 对点自测　如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 ( ) A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD 【答案】B 知识点二 角平分线的性质定理的逆定理 阅读课本本课时“动脑筋”至“例1”之前的一段内容,回答下列问题. 1.点到直线的距离是指过这点向这条直线所作的　 　的长.  2.角的内部到角的两边距离相等的点有　 　个,这样的点都　 　上.  3.由PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E说明PD,PE就是点P到　 　,同时可以得出两个直角相等,结合题目中的隐含条件　 　,根据　 　判定定理可得Rt△PDO≌Rt△PEO,得出结论. 【答案】1.垂线段 2.无数　在一条射线 3.角两边的距离　公共边　HL 归纳总结　角平分线的性质定理的逆定理:角的内部到角的两边 相等的点在角的 上. 【答案】距离　平分线 对点自测 如图,这是一个风筝骨架.为使风筝平衡,须使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,那么PC和PD应满足　 　,才能保证OP为∠AOB的平分线.  【答案】PC=PD 合作探究 任务驱动一 角平分线的性质定理的应用 1.如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在AB上的点E处.已知BC=12,∠B=30°,则DE的长是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 2.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C,且PC=3,点P到OA的距离为　 　.  3.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF与AD交于点G,AD与EF垂直吗?证明你的结论. 4.在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. (1)如图1,若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BDC的度数. (2)如图2,连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=1,AC=4,求△ADC的面积. 【答案】1.B 2.3 3.解:AD与EF垂直. 证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中,DE=DF,AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF,∴∠ADE=∠ADF,又DE=DF,∴DA⊥EF. 4.解:(1)∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°. ∵CD平分∠ACB, ∴∠DCB=∠ACB=×40°=20°, ∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-30°-20°=130°. (2)如图,过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H. ∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC, ∴DH=DE=1. ∵CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC, ∴DF=DH=1, ∴S△ADC=DF·AC=×1×4=2. 任务驱动二 角平分线性质定理与逆定理的综合 5.如图,在△ABC中,BP,CP分别是△ABC的外角的平分线,求证:∠1=∠2. 【答案】证明:如图,过点P作PE⊥AB于点E,PG⊥AC于点G,PF⊥BC于点F. ∵P在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PF⊥BC,∴PE=PF.同理可证PF=PG.∴PG=PE,又PE⊥AB,PG⊥AC,∴PA是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2. 学习小助手　(1)角的平分线性质的应用涉及角平分线上的点到角的两边的距离,因此每一个角需要构造两条垂线,所以过点P作PE　 　AB,PG　 　AC,PF　 　BC.  (2)由PE⊥AB,PF⊥BC得出:　 　.由PG⊥AC,PF⊥BC得出:　 　.  【答案】(1)⊥　⊥　⊥ (