7.3.1 离散型随机变量的均值 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第 2 课时 7.3.1 离散型随机变量的均值 （一）教学内容 离散型随机变量均值的概念，离散型随机变量均值的性质及应用. （二）教学目标 1.通过实例，抽象出取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念， 体会随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别，发展学生的数学抽象素养． 2.理解随机变量均值的线性性质，并能运用该性质解决简单的均值问题，发 展学生的逻辑推理素养. 3.运用随机变量的均值解决简单的实际问题，体会数学的价值，发展学生的 数学建模和数学运算素养． （三）教学重点和难点 重点：离散型随机变量均值的概念、性质及应用. 难点：离散型随机变量的均值含义的理解. （四）教学过程设计 1.情境导入 赌本分配问题：甲乙两人通过掷硬币进行赌博，每局正面朝上甲胜，反面朝 上乙胜.双方各出 50 个金币，约定的规则是先胜三局者获得全部 100 枚金币，当 赌博进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某种原因终止了 赌博，那么该如何分配这 100 枚金币才比较公平？ 概率论起源于博弈问题.15-16 世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹 的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题.1654 年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论了类似的合理分配赌金问题，得出了 相同的解决方案.他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在 1657 年发 表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作.这些数学家的著述中所出现的第 一批概率论的概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概 率论的诞生. 设计意图：通过数学史上“赌本分配”问题引入，让学生明确本节课要研究的问题，提高学生学习的兴趣. 2.新知探究 问题 1：甲、乙两名射箭运动员进行射击比赛，成绩如表 1 所示（单位：环）： 表 1 甲 7 8 9 10 乙 6 8 9 10 甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？ 问题 2：甲、乙两名同学进行了 100 次射击，成绩如表 2 所示（单位：环）： 表 2 环数 7 8 9 10 甲射中的频率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的频率 0.15 0.25 0.4 0.2 甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？ 问题 3：甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数 X 的分布列如表 3 所示： 表 3 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 师生活动：教师引导学生利用样本均值的概念正确解答问题 1 和问题 2，引导学生发现问题 3 与前两个问题的区别，并思考如何正确做出解答. 追问：这三个表格区别就是前两个是频率，后一个是概率，频率和概率之间有什么关系？ 师生活动：教师引导学生回忆之前所学知识.前面我们学习过当试验次数越 来越多时，事件发生的频率趋于一个稳定的值，这个值就是这个事件发生的概率. 教师总结：如果问题 2 中这两位运动员进行无数次试验后，样本均值 x1 f1 x2 f2 xn fn 中的频率就分别趋于一个固定值，即概率.因此，此时均值就改写为 x1 p1 x2 p2 xn pn ，我们就把这个均值称为随机变量的均值. 设计意图:以学生熟悉的生活问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数出发， 以问题串为主线，以师生互动为基本活动方式，采用小碎步，层层递进，逐步深 入的方法，最终得出“离散型随机变量 X 取值的平均值就是离散型随机变量 X 的所有取值与其相应概率乘积之和”的结论.这样，既可使学生感受数学与生活 的联系，又可激发学生的学习兴趣和热情.同时更是考虑到“离散型随机变量的 均值”这一知识的最近发展区就是样本平均值与概率，有利于学生进行知识的正 向迁移，也为下一步学生通过概括、抽象得出科学定义做好了铺垫. 3.抽象概念 师生活动：教师引导学生结合上述例题，给离散型随机变量的均值下个定义. 学生先尝试定义，教师修正并进一步指出离散型随机变量的均值的定义. 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为表 4 所示： 表 4 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 n E X x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi i 1 为随机变量 X 的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能 取值关于取值概率的加权平均数，它综合