7.1 两个基本计数原理（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

7.1 两个基本计数原理 课程标准 学习目标 （1）能在实际计数问题中，用自己的语言解释分类加法计数原理和分步乘法计数原理，发展数学抽象素养． （2）能通过具体实例，说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理之间的联系与区别，发展数学运算、逻辑推理等素养． （3）能根据实际问题的特征，通过对“完成一件什么事”的分析，正确选择原理解决简单的实际问题，发展数学运算素养． （1）了解分类计数原理与分步计数原理. （2）会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 知识点01 分类计数原理 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 【即学即练1】（2024·河南·高二校联考期末）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（　　） A．4种 B．6种 C．7种 D．9种 知识点02 分步计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ②完成每一步有若干种方法； ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 【即学即练2】（2024·福建宁德·高二统考期末）学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（    ） A．4种 B．24种 C．64种 D．81种 知识点03 分类计数原理和分步计数原理的区别： 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 2、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： （1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？ （2）然后考虑如何完成？主要有三种类型 ①分类或分步． ②先分类，再在每一类里再分步． ③先分步，再在每一步里再分类，等等． （3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？ 【即学即练3】（2024·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．12 题型一：分类加法计数原理 【典例1-1】（2024·广西桂林·高二统考期末）一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（    ） A．4 B．5 C．9 D．20 【典例1-2】（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·高二假期作业）从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（    ） A．9种 B．12种 C．20种 D．30种 【变式1-2】（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 【方法技巧与总结】 应用分类加法计数原理应注意如下问题 （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事． （2）无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的． 题型二：分步乘法计数原理 【典例2-1】（2024·广东深圳·高二校考期末）某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（