4.3.1等比数列的判定与性质教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题名称 等比数列的判定与性质 课时计划： 1 课时 第 1 课时 授课日期： 教学目标 1.掌握等比数列的判断及证明方法.2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 重点难点 1.掌握等比数列的判断及证明方法.2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 教学方法 教师讲授，学生主导，师生互动 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 一、等比数列的判定与证明 问题1　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 知识梳理　 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝______(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)． (2)等比中项法：a＝____________(n∈N*且n≥2)． (3)通项公式法：an＝____________＝·qn＝A·qn(A≠0)． 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 反思感悟　判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 跟踪训练1　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：数列是等比数列． 二、等比数列中项与项之间的关系 问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 问题3　结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)，类比出等比数列中相似的性质吗？ 知识梳理　 1．等比数列通项公式的推广和变形an＝____________. 2．设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则____________． (2)若m，p，n成等差数列，则____________成等比数列． 例2　(1)在等比数列{an}中： ①已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； ②已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an. (2)已知{an}为等比数列． ①若{an}满足a2a4＝，求a1aa5； ②若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； ③若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． (3)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 反思感悟　(1)应用等比数列的性质可以简化运算，当性质不能应用时，可以通过基本量法求解． (2)等比数列中的设元技巧：当三个数成等比数列时，可设为，a，aq；当四个正数(负数)成等比数列时，可设为，，aq，aq3. 跟踪训练2　(1)已知等比数列{an}满足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝42，则a7等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 (2)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　) A. B．3 C．± D．±3 (3)已知有四个数成等比数列，且将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列，则这四个数的和是________． 三、由等比数列构造新等比数列 问题4　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？ 知识梳理　 1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． 2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是____________． 3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为______和______． 例3　如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　) A. B. C. D. 反思感悟　由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中是否有为0的项，主要是针对q<0的情况． 跟踪训练3　设{an}是各项为正数的无