4.2.1等差数列的判定与性质教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题名称 等差数列的判定与性质 课时计划： 1 课时 第 1 课时 授课日期： 教学目标 1.掌握等差数列的判定与证明的方法.2.掌握等差数列的性质及应用.3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 重点难点 1.掌握等差数列的判定与证明的方法.2.掌握等差数列的性质及应用.3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 教学方法 教师讲授，学生主导，师生互动 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 一、等差数列的判定与证明 问题1　如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？ 知识梳理 证明或判定等差数列的方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d＝pn＋q(p，q为常数)． 例1　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an. 反思感悟　(1)通项公式法不能作为证明方法． (2)若an＋1－an为常数，则该常数为等差数列{an}的公差；若an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)成立，则无法确定等差数列{an}的公差． (3)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可． 跟踪训练1　已知数列{an}满足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 二、等差数列的性质 问题2　如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 问题3　若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 知识梳理 1．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)； (2)an＝am＋____________(m，n∈N*)； (3)d＝__________(m，n∈N*，且m≠n)． 2．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝________________________________________________________________________. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝____________. 例2　(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　) A．7 B．14 C．21 D．7(n－1) 延伸探究　在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 反思感悟　(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)， 则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 跟踪训练2　(1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________. (2)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　) A．－2 B．－ C．2 D. 三、由等差数列构造新数列 问题4　若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 知识梳理　 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 例3　在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求数列{bn}的通项公式． (3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 跟踪训练3　已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7