1.1 周期变化 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章 三角函数 1.1 周期变化 1.通过生活实例及部分呈周期变化的函数，得到周期函数及周期、最小正周期的概念，并能认识三角函数是刻画周期现象的重要模型． 2.对周期变化的函数有初步的了解与认识，能够用数学刻画生活中的周期变化，用数学的观点和从数学的角度认识实际问题． 周期函数及周期的概念． 识别身边的周期现象，并用周期函数刻画周期现象． 2 “东升西落” “昼夜循环” “草枯草荣” “冬去春来” 周而复始，始而复周的周期变化 3 在日常生活或是自然界中，你感受到了哪些周期变化的实例？请举例说明，并交流周期变化有哪些特征？ 海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这是一种周期变化；钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期变化，周期变化是每隔一段时间就重复出现的变化． 4 我们怎样从数学的角度刻画周期变化呢？ 对于每一个实数x，其函数值y=[x]是不超过x的最大整数，它不是偶数就是奇数． 讨论函数f(x) =(-1)[x]的图象和性质． 函数y=[x]是怎样的函数？ 作出函数f(x) =(-1)[x]的图象 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 -1 O x y 当[x]为偶数时，函数f(x) =(-1)[x]=1； 当[x]为奇数时，函数f(x) =(-1)[x] =-1. 5 根据图象，讨论函数f(x) =(-1)[x]的性质． 显然，对于任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变，也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的，所以函数f(x) =(-1)[x]变化是周期性的． 6 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 -1 从图中得到函数f(x) =x-[x]的哪些性质? 讨论函数f(x) =x-[x]，画出它的图象，并观察其性质. 观察图像，可以得到，对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变，也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的，所以该函数的变化也是一种周期变化． 函数f(x) =x-[x]的意思是一个数减去它的整数部分，只保留其小数部分，清楚这个意思，就很容易画出它的图象了． O x y 7 函数f(x) =x-[x]与函数f(x) =(-1)[x]的共同特点是什么？ 都具有周期变化的特点． 定义 一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D ，都有x+T∈D且满足 f(x+T)=f (x)， 那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期. 8 如何理解概念中的“任意”？ 周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)，不能说T是y=f(x)的周期． 周期函数的周期是否只有一个? 不是，比如对于例1中的函数f(x)=(-1)[x]来说，任何一个非零偶数都是它的周期． 对于例2中的函数f(x)=x- [x]来说，任何一个非零整数都是它的周期． 周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，对定义域内的任意x，均有f(x+kT)=f(x)，其中k∈Z，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 9 既然周期不唯一，如何选取某一个周期作为代表来表征函数的周期呢？ 定义 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期. 若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期. 10 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ． (1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10)，则它的周期T=5．(　　) (2)若函数f(x)的周期T=5，则f(-5)=f(0)=f(5) ．(　　) (3)若函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，则f(2020)=0 ．(　　) 概念辨析 (1)×　 (2)√　 (3)√ 11 讨论函数是否为周期函数，如果是，请指出它的周期． 解：当时，该函数的取值为8，6，8，6，8，… 可见它是周期函数，且周期T=2． 当给赋值，可以发现规律． 12 若对任意x∈R，函数f(x)满足f(x+2019)=-f(x+2020)，求函数f(x)的周期． 解析：由f(x+2019)=-f(x+2020)， 得f(x+2 019)=-f(x+2019+1) 令x+2 019=t，即f(t+1)=-f(t)， 所以f(t+2)=f(t)， 即函数f(x)的周期是2． 如何将f(x+2019)=-f(x+2020)形式转化为f(x+T)=f (x)的结构？  13 若对任意x∈R，函数f(x)满足