专题28.1 锐角三角函数（九大考点）-2023-2024学年九年级数学下册考点剖析及精准练习（人教版）

专题28.1锐角三角函数 1.能根据锐角三角函数的概念进行计算； 2.熟练运用给出的锐角三角函数值进行有关计算； 3.知道特殊角的三角函数值，以及能根据特殊的三角函数值得到对应角 一、锐角三角函数的概念 如图所示，在中，所对的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边，所对的边记为，叫做的对边，也是的邻边，直角所对的边记为，叫做斜边． 锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； 锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； 锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即. 同理；；． 注意： （1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． （2）分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成与，与，与的乘积．书写时习惯上省略的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如)，其正切应写成“”，不能写成“”； 另外,常写成. （3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． （4）由锐角三角函数的定义知：当角度在间变化时， 二、特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 考点01利用定义求三角函数值 例1．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 变式1-1．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，在直角中，，于点D，则等于（　　） A． B． C． D． 考点02根据三角函数值求边长 例2．等腰三角形的底角是，腰长为，则它的周长为（　　） A． B． C． D． 变式2-1．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积的值是 ． 变式2-2．如图，在中，，，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连结，若，则的长为 ； 变式2-3．为了测量一个光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出．这张光盘的半径是 cm． 考点03三角函数值的混合运算 例3．下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1． ． 变式3-2．求下列各式的值： (1)； (2)． 变式3-3．计算： (1)； (2)． 考点04构造直角三角形求三角函数值 例4．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，在中，，．若是上一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．把一副三角板按如图方式放置，含角的顶点在等腰直角三角板的斜边的延长线上，，，则的值是（    ）． A． B． C． D． 变式4-3．如图，在等腰三角形中，是锐角，且． (1)求； (2)求的长． 考点05利用三角函数值求角度 例5．某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．在中，，，则的形状（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 变式5-2．已知中，均为锐角，且满足，则 ． 变式5-3．关于x的方程有两个相等的实数根，其中是锐角三角形的一个内角，则 ． 考点06已知角度求三角函数值的大小 例6．已知，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．若，则下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0<sin<1 变式6-2．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）    A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定 变式6-3．比较大小： ． 考点07互余两角的三角函数关系 例7．计算：s ． 变式7-1．在中，，，则 ． 变式7-2．化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 变式7-3．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 考点08根据三角函数值求锐角的取值 例8．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变