2024年中考数学二轮复习专题之定值问题

中考数学二轮复习之定值问题 一、线段长度为定值 例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G。 （1） 当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度； （2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。 变式练习 1、如图，在中，与底边BC为一定值，BDAC，CEAB，D、E为垂足，连结DE。求证：DE为定长。 2、如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N. （1）当A点第一次落在直线y＝x上时，求A、B两点坐标（直接写出结果）； （2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 二、角的度数为定值 例 、如图，，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（2,0），点E,是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点，P为AF的延长线上一动点，G为BA的延长线上一点，连结PG，且满足BG＝PG＋PF，当P在AF的延长线上运动的过程中，∠PEG的度数是否会发生变化，若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由。 三、面积为定值 例. 如图7(1),正方形ABCD的对角线相交于点O，O是正方形A'B'C'O的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值. 真题练习 1．已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数． 2．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1，0），B （1，－5），D （4，0）． （1）求c，b （用含t的代数式表示）： （2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N． ①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； ②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=； （3） 在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC的面积为16． （1）求A点的坐标及反比例函数的解析式； （2）点P（m，）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P点的直线l与y轴正半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由； （3）连BC，将直线BC沿x轴平移，交y轴正半轴于D，交x轴正半轴于E点（如图所示），DQ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H，M是EH的中点，连接QM、OM．下列结论：①QM+OM的值不变；②的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 4、如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起． （1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）． 求证：BH•GD=BF2 （2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG． 探究：FD+DG＝ ．请予证明． 变式1：△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形，其中∠ABC与∠DBE、∠A与∠D为对应角． （1）如图1，若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时，请直接写