11.1 余弦定理（五大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

11．1 余弦定理 课程标准 学习目标 （1）学生能用向量等知识证明余弦定理． （2）能初步运用余弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题． （3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索． （1）掌握余弦定理的表示形式及推论、证明方法． （2）会运用余弦定理解决基本的解三角形问题． （3）能用余弦定理解决简单的实际问题． 知识点01 余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【即学即练1】（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在中，，，，则最长边（    ） A． B． C．或 D． 知识点02 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【即学即练2】根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）： (1)已知，，，求a； (2)已知，，，求． 知识点03 解三角形 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 【即学即练3】（1）在△ABC中，已知a=2，b=2，c=，求A，B，C； （2）在△ABC中，已知a=8，B=60°，c=4(+1)，解此三角形. 题型一：已知两边及一角解三角形 【典例1-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例1-2】（2024·江西萍乡·高一统考期末）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 【变式1-1】（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）在中，若，，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-3】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为．若，，且则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 题型二：已知三边解三角形 【典例2-1】（2024·全国·高一假期作业）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（    ）． A．4 B．5 C．6 D．6或 【典例2-2】（2024·江西宜春·高一统考期末）在中，分别是，，的对边．若，且，则的大小是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·上海徐汇·高一位育中学校考期末）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·河北邢台·高一统考期末）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角． 题型三：利用余弦定理判断三角形的形状 【典例3-1】（2024·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【典例3-2】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式3-1】（2024·北京·高一东直门中学校考期末）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（    ） A．底角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-2】（2024·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）在中，角对边为，且，则的形状为（        ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-3】（2024·江苏常州·高一校联考期末）在中，，，，